变量替换法应用

1、 “变量替换法”在各类计算中的应用下面通过各类计算中的典型例子加以具体阐述“变量替换法”在高等数学教学中适用的各种运算问题类型。1 在极限运算中的应用 例1 求分析：该极限看上去形式比较复杂，需要作化简处理，将函数中的一个单元(子函数)作为一个整体进行变量替换，令，该极限就变成为容易求解的等价极限形式，可使问题迎刃而解。解：令，则，且当时，于是例2 求 分析：该极限看起来形式简单，但没有直接可利用的公式套用，需要进行变量替换，若令，可转化为对数形式的函数极限，即可联系到第二个重要极限的结果来计算。例3 求.解：令，则时，即，于是这里，所引入的变量表示了一个二元函数。2 在导数运算中的应用在导数

2、运算中变量替换法主要用于复合函数(包括隐函数)的求导问题，根据链式法则，通过对复合函数复合关系的分析，引入中间变量，将复合函数拆成几个简单函数，使求导运算得以顺利进行。这里所引入的变量表示的都是函数，且它们只起中间变量的作用，即在求导过程中，需要时引进来，求导完之后要回代，需要注意的是清楚地分析复合函数的复合关系、恰当地引入中间变量且弄清每个中间变量所表示的函数是运用该方法熟练进行求导的关健所在。例4 求的导数解：令,则，于是注意：复合函数中间变量换元要分层次，引入不同的中间变量。例5 设，且具有一阶连续偏导数，求.解：令，则，于是该例子表明多元复合函数求偏导时，也必须对函数的复合结构做出正确

3、分析，通过引入中间变量进行替换，才能使运算得以进行，这里两个中间变量都各自表示了一个相应的二元函数。例6 设，求 解：视，对方程两边的求导，得 所以这里视为的二元隐函数，则相当于链式法则中的中间变量。例7 设可导，求解：该变限函数是无法直接进行求导的，只有通过变量替换，令,即可转化为可求解的形式。这时,从而，得.3 在积分运算中的应用在积分运算中，绝大多数复合函数的积分运算问题及特殊类型的或者难以直接套用公式求解的积分问题都需要作适当的变量替换，使之转化为关于新积分变量的便于求解的积分形式，以达到解决这类不能直接积分的积分运算的目的。例8 求解： 注：该例子使用的是第一类换元积分法，即以换元，

4、而第二类换元积分法需作相反方式进行换元，如例9。例9 求(1) (2)积分(1)需作三角代换令，将原积分化为关于u的三角函数的积分。积分(2)需作倒代换令，即可转化为容易积分的形式。例10 计算，其中.解：由于不能用初等函数表示，且D是圆域，所以该二重积分在直角坐标系下是难以计算的，但可利用化为极坐标系下的二重积分进行计算，这里实际上是借助于变量替换法将积分变量化为同时将积分区域的边界线方程变得简单而简化积分运算的。即4 在级数中的应用例11 将展开为的幂级数解：由令 得 从而，得注意：该例子表明由一些已知函数的幂级数展开式通过变量替换法可以得到所需要的相应复合函数的幂级数展开式。5 在微分方程求解中的应用例12 解微分方程解：将原方程两边同除以, 得，即 这是一个齐次方程，令，则，. 将及，代入上述方程、整理，得两边积分，得 即回代，得原方程的通解为，即该例子表明：对于不可