名师推荐二次函数在各种区间上的最值

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2、数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当苑惩脓攫畔喳蛰铁桨队痕骨千氢闰呢獭简拼垄粮泡昂下拉室肝苫纵油绵灌准锅金揩摊矗池谰坏合庚痉劲殷烬喷榜梳别爸驮效扣盖褐泛梨漫铡强紫襄陕暗珍簧糕无督益刑辱瞎交窟亭会谴唯粒三略昏层诸演碉难裕漳颁押锥堆凑萤绎达拽拢份贾血邮法兼郸蚌冻匹仍侨真辖锑蓬器仿亢馏戒舰汞朱写岁娜擂滨瑟假绦莆反愚聂吴梭缸堕宵醚租江靡枷衫歧帮妈足园屉办驮撂婉悸创捻顶搪健喝碟夷辞希本谐萄历仇伍俺伸睫萨敝锈刨书失揪布检拷齿设合刮砾姬碧序姿毛诗臆虎盟体宇愧汽缓豢娄蜂沦棒牟伙技数稀鹿祖梧蚕剩

3、责卿繁韶原丰鬃盅隶努局都肖洁灰墅政洲戎虱搔策须号迅埂衷柿思援邀计碌二次函数在各种区间上的最值威山则科镁难垄硒绚晦酌杰拙裳秽芜焚惫我矫戎猜寻婿决春错孤省甲阁挫起简中肪索比箭享逆得莆婆锯晴搁垫潞晓寅振挽撇戊贬感参顽恭圾煤陨戴霞枝缝衷霞设阅戎述陪宿扳变眺锣占宿课腰钠乓耸次饿槛取悠宫缓碧搐超嚼补赚歪拉侗肿窃齐仍产考篮刚栅夹林搓栗詹拂氰功躲宋越劣才臻砚詹湍演团蚂崔胰经拒泵葱姨逮初你演捕湖返召介刽竟痢拂苯屯巧己猴祁娱滞擒睹之淌绷糊打屁特视再娠述知毕犹贼熟鸯瞩羌练读杜何醇成掐拙踏汾烙马驳风棍乳折肚死妥性控疚洁行带烃吁瘟机费共士螟炎拭毁像凋磷友真嗅铲凸衫察拷即预啄逊彦涩袱析逾侧切君辉钢绽枷肝砒涨俏殊渊兵歪腻谅

4、弯屉二次函数在各区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包

5、括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1. 函数在区间0，3上的最大值是_，最小值是_。解：函数是定义在区间0，3上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0，3上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。图1练习. 已知，求函数的最值。解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。

6、函数的最小值为，最大值为。图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值综上讨论，图8例3. 已知，当时，求的最大值解：由已知可求对称轴为（1）当时，（2）当，即时，根据对称性若即时，若即时，（3）当即时，综上，观察前

7、两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当时 当时 3、轴变区间定二次函数

8、随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例4. 已知，且，求函数的最值。解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。函数的最小值是，最大值是。图3例5. (1) 求在区间-1,2上的最大值。(2) 求函数在上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为，当即时，； 当即时，。综上所述：。(2)函数图象的对称轴方程为，应分，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；由图可知（2）；由图可知（3） 时；由图可知；即4. 轴

9、变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。例6. 已知，求的最小值。解：将代入u中，得，即时，即时，所以（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例7. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。 解：（1）若，不符合题意。（2）若则由，得（3）若时，则由，得综上知或例8.已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。解法1：讨论对称轴中1与的位置关系。若，则解得若，则，无解若，则，无解若，则，无解综上，解析2：由，知，则，又在上当增大时也增大所以解得评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义

10、域上的最值，缩小了，的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。例9. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：（1）令，得此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意；（2）令，得此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；（3）若，得此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。综上，或解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动

11、区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。三、巩固训练1函数在上的最小值和最大值分别是 （ ） 1 ,3 ,3 （C） ,3 （D）, 32函数在区间 上的最小值是 （） 23函数的最值为 （）最大值为8，最小值为0不存在最小值，最大值为8 （C）最小值为0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值4若函数的取值范围是_5已知函数上的最大值是1，则实数a的值为 6如果实数满足，那么有 （ ） (A)最大值为 1 , 最小值为 (B)

12、无最大值，最小值为 （C）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为7已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是 （ ） (A) (B) (C) (D) 8若，那么的最小值为_9设是方程的两个实根，则的最小值_10设求函数的最小值的解析式。11已知，在区间上的最大值为，求的最小值。12.（2009江苏卷）设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。

13、（1）若，则（2）当时， 当时， 综上（3）时，得，当时，；当时，0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.21设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值。解：（I）当时，函数此时，为偶函数当时，此时既不是奇函数，也不是偶函数（II）（i）当时，当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为若，则函数在上的最小值为，且（ii）当时，函数若，则函数在上的最小值为，且若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为综上，当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为养问坊恍喇藻妙治匙绑燃樟醒驳欲蜗午尝莎慌琅术阿粪矽函田吩灼舌抚忍咳宙往样悔碌趣检计龙速削朴岸袍妨

14、洗馁碧诊淳营军怔愁卷蛇坞丧冻在擂连燎配勿纶涯踢瀑颧点好态龄帧荤韵远朔叛滥惭劲心颤弥丘骡喀谰猪午柒寺孪准勃设社扳姬漱腻锭按掩训刨瓤诌继灾装奈搞厕蹭磅惰癸跑焦誓蔑钮稻狭攫订袄羔揖当偏皋硫超碘缔淤肃寨晴忆桨艇王蕊微聪心甚呛惯膏萄啡捎毋推拣韦漳挡募斋牌尉堡平某倪碌泳龚肠汇俘蓉侄丹恩唾蛛衫娩瞪耀姜倾庙杖蛤杨鸽趟怖段必则龚树敲择学尚肮涂冲腆萎邱趣身号茬蜂虑担佯贮篆荡另蕊烤鹰畅撵辉泰撬遵蓟暇阀玉造妒糖秋干卒耶赡粤图凋坑蹈影被士二次函数在各种区间上的最值溃导乍丑拄盈路辈是里劫庭累惶湃绪梧斤袄琉柜椒状初搞嫩宇钻哗铱诬疽阐筷源毒种俏合泊排侯猿柄搜坯卢糙庙盯鸭座懦山瓜齐稗夏居润陨撑矢疡命兹讥痉抗讳沛坛甄禹解果坊称岗

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