高一上学期期末知识点总结

1、高一数学主要知识点清单必修一第一章集合1集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 或 表示 (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、自然语言 (4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N+)；整数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集2集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 子集：对任意的xA，都有xB，则(或)真子集：若AB，且在B中至少有一个元素xB，但xA， 性质：A；AA；AB，BCAC. 若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有

2、 个 (2)集合相等 若AB且BA，则 A=B . 3集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 并集：ABx|xA或xB； 交集：ABx|xA且xB； 补集：UAx|xU且xAU为全集，CUA表示A相对于全集U的补集 (2)集合的运算性质 ABABA，ABA； AAA，A ； AAA，AA； ACUA，ACUAU，CU(CUA)A. （3）研究集合的两个工具：韦恩图和实数轴4函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空 数集 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对与集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有 唯一 确定的数f(x)和它对应，那么称 f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作

3、：yf(x)，xA. (2)函数的定义域、值域 在函数yf(x)，xA中，x叫自变量，x的取值范围A叫做 定义域 ，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合f(x)|xA叫值域值域是集合B的子集 (3)函数的三要素： 定义域 、值域和对应关系 (4)相等函数：如果两个函数的定义域和 对应关系 完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据5函数的三种表示方法(1) 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法(2)关于函数的解析式 .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. .(3)求函数的解析式的主要方法有：

4、待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数fg(x)的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) (4)两个特殊的函数形式分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意： 如：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的

5、并集，值域是各段值域的并集。复合函数 ：如果函数y=f(u) (uM),u=g(x) (xA),则函数y=fg(x)=F(x)（定义域为） 称为f、g的复合函数。（5）复合函数的单调性 两个函数复合而成的复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性之间的关系是：同增异减。注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集. 6映射的概念 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于 集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有 唯一 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记作

6、“f：AB” 7函数的单调性 (1)单调函数的概念 设函数yf(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的 任意 两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有 ，那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数) (2)单调区间的概念 如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 区间D叫f(x)的单调区间8函数的最值 设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有 f(x)M(或f(x)M)；存在 x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最大值(或最小值)9偶函数、奇函数的概念 一般地，如果对于函数f(x

7、)的定义域内任意x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数偶函数的图象关于 y轴 对称 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于 原点 对称10判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1)考查定义域是否关于原点对称，这是函数具有奇(偶)性的必要非充分条件 (2)考查表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)： 若f(x) f(x)，则f(x)为奇函数； 若f (x) f(x) ，则f(x)为偶函数； 若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数； 若

8、f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数11周期性 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期必修一第二章 基本初等函数回顾、总结、升华1根式(1)根式的概念如果一个数的n次方等于a(n1且，nN*)，那么这个数叫做a的n次方根也就是，若，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数(2)根式的性质

9、当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示正负两个n次方根可以合写为(a0)n. 当n为奇数时，； 负数没有偶次方根 当n为偶数时， |a|.2有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ：正分数指数幂 负分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质aras (ar)s (ab)r(a0，b0，r、sQ)3指数函数的图象与性质指数函数a10a1图象定义域R值域 .性质过定点 (0,1) .当x0时，y1；x

10、0时，0y1当x0时，0y1；x0时，y1.在(，)上是增函数在(，)上是减函数4对数的概念 (1)对数的定义 如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其 中a叫做对数的底数，N叫做真数 (2)几种常见对数对数形式特点记法 一般对数底数为a(a0且a1)logaN常用对数底数为10lg N自然对数底数为e5对数的性质与运算法则(1)对数的性质 ；logaaN N (a0且a1)(2)对数的重要公式换底公式：(a，c均大于零且不等于1)；logab， 推广logablogbclogcdlogad. (3)对数的运算法则 如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)；lo

11、ga；logaMn； log amMn.6对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，)值域：R过点 (1,0) .当x1时，y0当0x1，y0当x1时，y0当0x1时，y0是(0，)上的增函数是(0，)上的减函数7反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线 y=x 对称8幂函数的定义：一般地，形如(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数9幂函数的图象：在同一平面直角坐标系下，幂函数yx，yx2，y，的图象分别如右图 幂函数的九种图象10幂函数的性质函数yxyx2yx3yyx1定义域RRRx|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇偶

12、奇非奇非偶奇单调性增x0，)，增x(，0，减增增x(0，)，减x(，0)，减定点(1,1)第三章 函数的应用回顾、总结、升华函数图象的作法1描点法作图 描点步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质： 即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象2函数图象的变换法(1)平移变换 水平平移：yf(xa)(a0)的图象，可由yf(x)的图象向 左 ()或向 右 ()平移单位而得到 竖直平移：yf(x)b(b0)的图象，可由yf(x)的图象向 上 ()或向下 ()平移单位而得到(2)对称变换yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称 y

13、f(x)与yf(x)的图象关于 x轴对称yf(x)与yf(x)的图象关于 原点 对称（3）周期变换如果函数yf(x)对定义域内的一切x值，都满足f(x+T)f(x)，则函数周期为T； ，其中a是常数，则函数周期为； (4)翻折变换作为yf(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变得到y|f(x)|的图象；作为yf(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得yf(|x|)的图象(5)伸缩变换yaf(x)(a0)的图象，可将yf(x)图象上每点的纵坐标伸(a1时)缩(a1时)到原来的a倍yf(ax)(a0)的图象，可将yf(x)的

14、图象上每点的横坐标伸(a1时)缩(a1时)到原来的.3函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数yf(x)，我们把使的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)几个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是 连续 不断的一条曲线，并且有，那么，函数yf(x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c) 0，这个c也就是方程f(x)0的根5二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义： 对于在区间a，b上连续不断且的函数yf(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所

15、在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点 c；计算f(c)； ()若f(c)0，则c就是函数的零点； ()若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)； ()若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b) 判断是否达到精确度.即：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则 重复.6三种增长型函数模型的图象与性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递

16、增单调递增单调递增增长速度爆炸性增长缓慢增长相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与_y轴_平行随x增大逐渐表现为与_x轴_平行随n值变化而不同7三种增长型函数之间增长速度的比较在(0，)上，总会存在一个x0，使xx0时有 logax xn 0，b1)； (5)对数函数模型f(x)mlogaxn(m、n、a为常数，m0，a0，a1)；(6) 幂函数模型f(x)axnb(a、b、n为常数，a0，n1)必修四第一章三角函数2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角如：第一象限角的集合为终边在轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角的

17、集合为4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度5、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是6、弧度制与角度制的换算公式：，7、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，Pvx y A O M T 8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正10、三角函数线：，11.同角三角函数间的关系（结合方程思想） （ 切化弦，通常弦化切应用于齐次式，即分子分母同时除以 ） sin2+ cos2=1 （平方关系，凡涉及到同角三角函数求值问题要想到这个隐含条

18、件！） （ 知一求二，在实际的计算中往往构造简单的直角三角形来计算，注意符号看象限） （2）平方关系结合变形有： （即和、差、积知一求二）12、函数的诱导公式：，口诀：函数名称不变，符号看象限口诀：正弦与余弦互换，符号看象限13、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质 图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴14、将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；15、函数的性质：振幅：；周期

19、：；频率：；相位：；初相：函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，研究函数的性质方法：把当成整体借助正余弦函数，或运用五点法16.0，A0）的图象：五点法作图：001010kAkkA+kk快速作图如：17.解三角方程18.解三角不等式19.0，A0）的性质：性质： 单调性：令，得到增区间； 令，得到减区间。 对称性：令，得对称轴方程； 令， （）为对称中心。图像变换： 第一种方案：函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标

20、不变），得到函数的图象第二种方案：函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象例如：得的图像。20、正余型函数的奇偶性：(1)是奇函数；(2)是偶函数；(3)是奇函数；(4)是偶函数； (5)是奇函数21.常见三角不等式：（1）若，则.(2) 若，则. (3) .必修四第二章平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为的向量单位向量：长度等

21、于个单位的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：运算性质：交换律：； 结合律：；坐标运算：设，则3、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则4、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，运算律：；坐标运算：设，则5、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使设，其中，则当且仅当时，向量、共线6、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）7、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，当时，点的坐标是（当8、平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为性质：设和都是非零向量，则当与同向时，； 当与反向时，；或运算律：；坐标运算：设两个非