2015年湖北高考数列专题分析

1、从各地高考数列题看明年湖北数列命题趋势湖北省2014年高考数学文、理卷数列是同一个题，满分12分笔者所在城市共15683人参加考试，文科第1小题均分3.25分，第2小题均分2.32分，计得分5.57分；理科第1小题均分4.05分，第2小题均分3.59分，计得分8.09分。第1小题考查等差、等比数列的基本概念，求通项公式；第2小题考查等差数列的前项和公式及一元二次不等式的解法。这题属中档题，难度不大，计算不繁，但得分率不高试题回放I（2014年湖北卷文科T19、理科T18） 已知等差数列满足：，且，成等比数列 （I）求数列的通项公式； （II）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的

2、最小值；若不存在，说明理由解：（I）容易求得：或 （II）当时，不存在满足题意的； 当时，存在满足意的，其最小值为41此题第（I）问失分，主要忽略了公差的情况，漏掉了；由于第（I）问出错，导致第（II）问的解答不全；有的考生对求和公式不熟，有的考生不会解一元二次不等式试题回放II（2012年湖北卷文科T20，理科T18） 已知等差数列前三项和为，前三项的积为 （I）求等差数列的通项公式； （II）若，成等比数列，求数列的前项和试题回放III（2013年湖北卷文科T19） 已知是等比数列的前项和，成等差数列，且 （I）求数列的通项公式； （II）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的

3、集合；若不集在，说明理由（2013年湖北卷理科T18） 已知等比数列满足：， （I）求数列的通项公式； （II）是否存在正整数,使得?若存在，求的最小值；若不存在，说明理由新课改三年来，湖北命题方向一直保持稳定，三年的数列第一问，都是由方程组解出首项与公差，再得到通项公式第二问都是前项和问题，02年与绝对值知识交汇，03年和04年与不等式交汇。等差、等比数列是高考考查的重点和热点，主要考查学生的双基掌握情况及分析问题、解决问题的能力；数列的基本概念及其性质主要以选择题、填空题为主，有的作为解答题的一问；考查数列的通项公式及求和公式常常与其它知识交汇处命题，与三角、不等式、函数、解析几何等；等差

4、、等比数列求和文科卷一般可用前项和公式直接求和，理科卷一般需用到错位相减法或裂项相消法求和下面仅从2014年全国各省（市、区）高考数列题为例，谈高考数列的命题趋势一、考查等差、等比数列的基本性质1求基本量问题在等差数列或等比数列中，共有5个基本量：、(或)、，只要知道了其中的3个，就可以求出其余的2个。求基本量问题主要在选择、填空题中出现例1（新课标全国卷II文科T5）等差数列的公差为，若，成等比数列，则的前项和（ ）ABCD湖北卷第（I）问已知首项，由等比数列性质，列方程求公差，而此题，已知公差，由等比数列性质列方程求首项，与湖北卷有异曲同工之妙例2（大纲全国卷广西文科T8）设等比数列的前项

5、和为若，则（ ）A31B32C63D64解：方法一 由，可解出，再求方法二 由等比数列的性质，成等比数列，直接可求出显然，方法二比方法一运算量小，方法一要讨论的取值，方法二规避讨论的取值例3（安徽卷理科T12）数列是等差数列，若，构成公比为的等比数列，则 解：设公差为，依题意有展开、整理得：，又，数列基本量运算问题，多数省市都进行了考查，如福建卷理科T3、天津卷文科T5、江苏卷文科T7等2与其它知识交汇命题考查等差、等比数列的基本性质时，常常与其它知识交汇命题例4（广东卷T13）（文科）等比数列的各项均为正数，且，则 （理科）若等比数列的各项均为正数，且，则 广东卷文、理科以姊妹题呈现，与对数

6、知识交汇，且由课本习题改编来的人教版必修5复习参考题P68 BT1：等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A12B10C8D例5（陕西卷T16）的内角，所对的边分别为，（I）若，成等差数列，证明：； （文科）（II）若，成等比数列，且，求的值（理科）（II）若，成等比数列，求的最小值解：（I），成等差数列，由正弦定理得：，又，即文（II），成等比数列，又，理（II），成等比数列，当时，的最小值为陕西卷第二问以姊妹题呈现，与正、余弦定理知识交汇命题例6（江西卷文科T13）在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时，取得最大值，则的取值范围是 解：，当时，取得最大值，又对称轴， ， 解得：，综上 ，

7、这是与不等式交汇命题，还有北京卷理科T12也是与不等式交汇命题二、求数列的通项公式问题1已知某些项求通项公式例7（新课标全国卷I文科T17）已知是递增的等差数列，是方程的根（1）求的通项公式；（2）略例8（福建卷文科T17）在等比数列中，（I）求；（II）略已知等差数列、等比数列中的某些项，由其性质列方程，求出首次及公差或公比，再求通项公式属容易题，多出现在文科卷，如山东卷文科T19、北京卷文科T15也属此类型2已知数列的前项和求通项公式例9（江西卷文科T17）已知数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）略给出前项和的表达式，求数列通项公式，多在文科卷中出现，湖南卷文科T16第（I）小题与

8、江西卷同样的模式呈现例10（大纲全国卷广西理科T18）等差数列的前项和为，已知，为整数，且（I）求数列的通项公式；（II）略解：由，得： （1） （2）由（1）、（2）得： ， 又为整数，为整数， 由前项和满足的一些关系式，求通项公式多出现在理科试卷，如山东卷理科T19、广东卷理科T19已知数列的前项和公式，求数列的通项公式，其方法是利用，当时，求得的与由表达式求得的时，才是通用公式；否则，要用分段函数来表示3由递推关系式求通项公式例11（大纲全国卷广西文科T17）数列满足，（I）略 ； （II）求的通项公式解：（II）由已知得：，是首项为，公差的等差数列，上式相加得：，例12（重庆理科卷T2

9、2）设，（1）若，求，及数列的通项公式；（2）略解：（1）时， ， ，移项、两边平方化简得：，是首项，公差为的等差数列增， ， 用数列的递推关系式求通项公式，对考生的双基要求较高，要考查学生的灵活变形能力，课标全国卷II理科T17也是此类问题对于“”型递推关系常用“累乘法”求通项；对于“”型递推关系常用“累加法”求通项还须注意检验时，是否适合所求三、求数列的前项和问题1直接用求和公式求和例13（重庆卷文科T16）已知是首项为，公差为的等差数列，表示的前项和（1）求及；（2）设是首项为2的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和解：用等差数列的求和公式求；用等比数列的求和公式，求直接运用等差数

10、列、等比数列前项和公式求和，主要在文科卷中出现，如北京文科卷T15、福建文科卷T17等。2错位相减法求和例14（安徽卷文科T18）数列满足，（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和解：（1）略；（2）， ， ，得，错位相减法求和，在高考试题中常常出现，如课标全国卷I文科T17第（2）问、江西卷理科T17第（2）问、四川卷文、理科T19第II问均属错位相减法求前项和问题，错位相减法求和因为有等比数列求和公式的推导做基础，故这类求和问题，思维要求不高，学生能够动手做，但计算量较大，常常在计算时出现错误在写出“”与“”的表达式时，要特别注意归纳式“错项对齐”，以便下一步准确写出“”的表达

11、式3裂项相消法求和例15（大纲全国卷 广西理科T18）（II）设，求数列的前项和解：（II）例16（山东卷理科T19）（II）令，求数列的前项和解：（II），裂项相消法求和在理科卷中出现的较多用裂项相消法求和时应注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏掉了未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点四、数列的证明问题1等差、等比数列的判定例17（大纲全国卷广西文科T17）（I）设，证明是等差数列；（2）略证明：，是首项，公差为的等比数列例18（新课标全国卷I 理科T17）已知数列的前项和为，其中为常数（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由证明：（1） （1）， （

12、2），（2）（1）得： ， 证毕（2）由已知得：，由（1）得：，若存在，使得为等差数列，即， ， ，当时，是首次为1，公差为4的等差数列， 是首次，公差为4的等差数列，是首项，公差为2的等差数列等差、等比数列的判定问题，也是高考的常考内容，除上例外，还有安徽卷文科T18第1小题，证明：是等差数列；江西卷文科T17第2小题，证明：对任意的都存在，使得，成等比数列；新课标全国卷II理科T17第1小题，证明是等比数列2数列不等式的证明例19（广东卷文科T19）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有解：（1）、（2）略；证明：（3），当

13、时，成立；当时，对一切正整数，有数列不等式的证明，技巧性强，需要用到不等式的放缩思想，属于数列中的难度题，多在理科卷中出现，如课标全国卷II理科T17第II小题，证明：也是一个不等式放缩问题；另一些不等式证明问题，如重庆卷理科T22第2小题，作为压轴题，此题难度较大，需要用到函数单调性与数学归纳法相结合才能解决此问题五、数列的综合应用问题例20（四川卷理科T19）设等差数列的公差为，点，在函数的图象上（I）若，点，在函数的图象上，求函数的前项和；（II）若，函数的图象在点，处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和解：（I），点，在的图象上，而， ， ，；（II）在点，处的切线方程为， 令 ， 得

14、： ， ，又， ， ， （1）， （2），（1）（2）：，四川卷文科与理科数列是姊妹题，此处略例21（江苏卷文科20，理科20）设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”（1）若数列的前项和，证明：是“H数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立解：（1）、（2）略；证明：（3）设等差数列的公差为，则令，则下证是“H数列”设的前项和为，则，于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，是“H数列”同理可证也是“H数列”，所以，对任意的等差数列，总存在两个“H数列”， 和，使得成立这个题的第一问给出的“H数列”新定义问题，第二问从一般到特殊的思想方法，取特值不难求出的值；第三问对学生的创新能力要求较高，将一个等差数列分解成两个“H数列”，需要较深的数学功底！湖北卷新课改三年来的命题趋势呈现以下特点：回归课本重基础，回避技巧重通法，强调运算重交汇高考试题虽然每年都在变，但规律可循，趋势可测作为高三一线