2015年高考第一轮复习教案-05函数的值域和最值教师版

1、 函数的值域和最值一课标要求1理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用2掌握函数最值的一般求法，并能利用函数的最值解决一些实际问题，提高分析和解决问题的能力二命题走向函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。高考对函数值域和最值考察是以填空为主，以解答题形式为辅，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。预测2013年高考对本节的考察是：1题型是1个选择2热点是函数值域和最值的求法，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。三要点精讲1函数的值域的定义：函数的值域是函数值的集合，它

2、是由定义域和对应法则确定的，所以求函数的值域时应注意函数的定义域。2.基本初等函数的值域(1)一次函数y=kx+b(k0)的值域为 R .(2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的值域：当a0时，值域为 ;当a0且a)的值域为 y|y0 .(5)对数函数 (a0且a)的值域为 R .(6)正、余弦函数y=sinx(xR)、y=cosx(xR)的值域为y|-1y1 ;正切函数y=tanx(xk+ ,kZ)的值域为 R .3求函数的值域的方法求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。(1)利用函数的单调性：若 是a，b上的单调增(减)函数，则f(a) 、

3、f(b) 分别是在区间a，b上的最小(大)值，最大(小)值(2)利用配方法(3)利用反函数定义域是原函数的值域(4)利用函数的有界性(5)利用“判别式”法形如 (a、p至少有一个不为零)的函数，求其值域，可利用“”法(6)利用换元法(7)利用“均值定理”(8)几何法:利用数形结合的思想方法，通过函数图形间的关系，利用平面几何知识求值域(9)导数法：利用导数与函数的连续性求较复杂函数的极值和最值，然后求出值域4函数最值的意义；最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值

4、。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。注意： 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。5求函数最值的常用方法：函数的最值问题实质上是函数的值域问题，因此求函数值域的方法，也是求函数的值域的方法，只是答题的方式有所差异；无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此（1）配方法：主要适用于可化为二次函数

5、或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；（2）判别式法：主要适用于可化为关于的二次方程的函数在由且，求出的值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值；（3）不等式法：利用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件；（4）换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；（5）数形结合法：对于图形较容易画出的函数的最值问题可借助图象直观求出；（6）利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值。利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； 利用图象求函数的最大（小）值； 利用函数单调性的判断函数的最大（小）

6、值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；四典例解析题型1：函数的值域问题例1求下列函数的值域：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法），的值域为改题：求函数，的值域解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为函数，的值域为（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为又，故，的值域为

7、（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，原函数的值域为（法二）分离变量法： ，函数的值域为（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为说明：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为（6）数形结合法：，函数值域为（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为（8），当且仅当时，即时等号成立，原函数的值域为（9）（法一）方程法：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为（法二）数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，解略点评：上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中

8、学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复习中要作详尽的讨论。题型二：函数值域的综合应用例2若关于的方程有实数根，求实数的取值范围解：原方程可化为，令，则，又在区间上是减函数，即，故实数的取值范围为：例3某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动经过市场调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费用万元之间满足：与成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，

9、则当年产销量相等（1）将2003年的年利润万元表示为年促销费万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润收入生产成本促销费）解：（1）由题设知：，且时，即，年生产成本为万元，年收入为年利润，（2）由（1）得，当且仅当，即时，有最大值当促销费定为万元时，年该化妆品企业获得最大利润题型三：函数最值的求法例求下列函数的最大值或最小值：（1） ；（2）；（3）解：（1），由得，当时，函数取最小值，当时函数取最大值（2）令，则，当，即时取等号，函数取最大值，无最小值（3）解法（一）用判别式法：由得，若，则矛盾， ，由，这时，解得：，且当时， 函数的最大值是，无最小值解法（二）分离常数法：由， ，函数的最大值是，无最小值例（1）函数在上的最大值与最小值的和为，则 2 （2）对于满足的一切实数，不等式恒成立，则的取值范围为（3）已知函数，构造函数，定义如下：当时，当时，那么（ ）有最小值，无最大值 有最小值，无最大值有最大值，无