2009年全国初中数学联赛试卷

1、2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设，则 （ ）a.24. b. 25. c. . d. .【答】a.由，得，故.所以.2在abc中，最大角a是最小角c的两倍，且ab7，ac8，则bc （ ）a. b. . c. . d. .【答】c.延长ca至d，使adab，则，所以cbddab，所以，故，所

2、以.又因为，所以.3用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ ）a.1. b. 2. c. 3. d. 4.【答】c.由方程得，而，所以，即，解得，从而只可能取值.当时，解得；当时，没有符合条件的解；当时，没有符合条件的解；2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页（共8页）当时，解得；当时，解得.因此，原方程共有3个解.4设正方形abcd的中心为点o，在以五个点a、b、c、d、o为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）a. b. . c. . d. .【答】b.不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点a、b、c、d、o为顶点所构成的三角

3、形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形abcd的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为；（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形abcd的中心o，这样的三角形也有4个，它们的面积都为.所以以五个点a、b、c、d、o为顶点可以构成448个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.因此，所求的概率为.5如图，在矩形abcd中，ab3，bc2，以bc为直径在矩形内作半圆，自点a作半圆的切线ae，则cbe （ ）a. b. . c. . d. .【答】 d.设b

4、c的中点为o，连接oe、ce.因为abbc，aeoe，所以a、b、o、e四点共圆，故baecoe. 又abae，oc=oe，所以abeoce，因此，即.又cebe，所以，故cbe.6设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ ）a.3. b. 4. c. 5. d. 6.【答】b.设，则，它为完全平方数，不妨设为（其中为正整数），则.验证易知，只有当时，上式才可能成立.对应的值分别为50，20，10，2.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第2页（共8页）因此，使得为完全平方数的共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.二、填空题（本题满分28分，

5、每小题7分）1已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是_.【答】.因为是关于的一元二次方程的两个非负实根，所以解得.，当时，取得最小值.2 设d是abc的边ab上的一点，作de/bc交ac于点e，作df/ac交bc于点f，已知ade、dbf的面积分别为和，则四边形decf的面积为_.【答】 .设abc的面积为,则因为adeabc，所以.又因为bdfbac，所以.两式相加得，即，解得.所以四边形decf的面积为.3如果实数满足条件，则_.【答】 .因为，所以.由可得，从而，解得.从而，因此，即，整理得，解得（另一根舍去）.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

6、 第3页（共8页）把代入计算可得，所以.4已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_对.【答】 7. 设（为正整数），则，故为有理数.令，其中均为正整数且.从而，所以，故，所以.同理可得（其中为正整数），则.又，所以，所以.（1）时，有，即，易求得或（3,6）或（6,3）.（2）时，同理可求得.（3）时，同理可求得或（1,2）.（4）时，同理可求得.因此，这样的有序数对共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二试 （a）一（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为a、b，与轴

7、的交点为c.设abc的外接圆的圆心为点p.（1）证明：p与轴的另一个交点为定点.（2）如果ab恰好为p的直径且，求和的值.解 （1）易求得点的坐标为，设，则，.设p与轴的另一个交点为d，由于ab、cd是p的两条相交弦，它们的交点为点o，所以oaobocod，则.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页（共8页）因为，所以点在轴的负半轴上，从而点d在轴的正半轴上，所以点d为定点，它的坐标为(0,1). 10分（2）因为abcd，如果ab恰好为p的直径，则c、d关于点o对称，所以点的坐标为，即. 15分又，所以，解得. 20分二（本题满分25分）设cd是直角三角形abc的斜边a

8、d上的高，、分别是adc、bdc的内心，ac3，bc4，求.解 作eab于e，fab于f.在直角三角形abc中，ac3，bc4，.又cdab，由射影定理可得，故，. 5分因为e为直角三角形acd的内切圆的半径，所以.10分连接d、d，则d、d分别是adc和bdc的平分线，所以dcdadcdb45，故d90，所以dd，. 15分同理，可求得，. 20分所以. 25分三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： 2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第5页（共8页）证明：以为三边长可构成一个直角三角形.证法1 将两式相乘，得，即， 10分即，即， 15分即，即，即，即，即，

9、20分所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 25分证法2 结合式，由式可得，变形，得 10分又由式得，即，代入式，得，即. 15分， 20分所以或或.结合式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 25分第二试 （b）一（本题满分20分）题目和解答与（a）卷第一题相同.二 （本题满分25分） 已知abc中，acb90，ab边上的高线ch与abc的两条内角平分线 am、bn分别交于p、q两点.pm、qn的中点分别为e、f.求证：efab. 2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第6页（共8页）解 因为bn是abc的平分线，所以.又因为chab，所以，因

10、此. 10分又f是qn的中点，所以cfqn，所以，因此c、f、h、b四点共圆. 15分又，所以fcfh，故点f在ch的中垂线上. 20分同理可证，点e在ch的中垂线上.因此efch.又abch，所以efab. 25分三（本题满分25分）题目和解答与（a）卷第三题相同. 第二试 （c）一（本题满分20分）题目和解答与（a）卷第一题相同. 二（本题满分25分）题目和解答与（b）卷第二题相同. 三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： 是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1 将两式相乘，得，即， 10分即，即， 15分即，即，即，即，即， 20分2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第7页（共8页）所以或或，即或或.