弹性力学试题及解答

1、弹性力学试题及解答一、试确定应变状态，是否存在。（10分）解：是平面应变问题，满足变形协调方程 因此该应变状态存在。二、已知应力分量，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。(15分)解：将已知应力分量，代入平衡微分方程可知，已知应力分量，一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：将已知应力分量，代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：将已知应力分量，代入上式，可知满足相容方程。三、已知应力分量，体力不计,Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。(15分)解：将所给应力分量代入平衡微分方程得即由x，y的任意性，得

2、由此解得，四、如果为平面调和函数，满足，问可否能作为应力函数？(15分)解：五、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为，液体的密度为，试求应力分量。(20分)r2gr1gayxO解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与成正比（g是重力加速度）；另一部分由液体压力引起，应当与成正比。此外，每一部分还与，x，y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2，和的量纲是L-2MT-2，是量纲一的量，而x和y的量纲是L，因此，如果应力分

3、量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是，四项的组合，而其中的A，B，C，D是量纲一的量，只与有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设相应的应力分量表达式为, , 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。左面，作用有水平面力，所以有对左面的任意y值都应成立，可见同时，该边界上没有竖直面力，所以有对左面的任意y值都应成立，可见因此，应力分量可以简化为，斜面，没有面力，所以有由第一个方程，得对斜面的任意y值

4、都应成立，这就要求由第二个方程，得对斜面的任意x值都应成立，这就要求由此解得，从而应力分量为, ， 。六、图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。(25分) 题三（2）图解：（1）求横截面上正应力任意截面的弯矩为，截面惯性矩为，由材料力学计算公式有 （1）（2）由平衡微分方程求、平衡微分方程： 其中，。将式（1）代入式（2），有积分上式，得利用边界条件：，有 即 （4）将式（4）代入式（3），有 或 积分得利用边界条件：，得：由第二式，得将其代入第一式，得 自然成立。将代入的表达式，有 （5）所求应力分量的结果： （6）校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x = 0）：， 代入后可见：自然满足。（2）梁右端的边界（x = l）：可见，所有边界条件均满足。检验应力分量是否满足应力相容方程