第四章线性系统的可控性和可观性

1、第四章 线性系统的可控性和可观性4-1 问题的提出经典控制理论中用传递函数描述系统的输入输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。 现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。状态方程描述输入引起状态的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出的变化。可控性和可观性正是定性地分别描述输入对状态的控制能力，输出对状态的反映能力。它们分别回答： “输入能否控制状态的变化”可控性 “状态的变化能否由输出反映出来”可观性可控性和可观性是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出来的。可控性和可观性

2、的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入，使状态达到预期的轨线。就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入，当然就无法实现最优控制。另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。可是状态的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的中估计出状态；如果输出不能完全反映系统的状态，那么就无法实现对状态的估计。状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。【例如】（1） 分析：上述动态方程写成方程组形式：从状态方程来看，输入u不能控制状态变量，所以状态变量是不可控的；从输出方程看，输出

3、y不能反映状态变量，所以状态变量是不能观测的。即状态变量不可控、可观测；状态变量可控、不可观测。22u（2） 分析：上述动态方程写成方程组形式：由于状态变量、都受控于输入u，所以系统是可控的；输出y能反映状态变量，又能反映状态变量的变化，所以系统是可观测的。即状态变量可控、可观测；状态变量可控、可观测。2u（3） 分析：上述动态方程写成方程组形式：从状态方程看，输入u能对状态变量、施加影响，似乎该系统的所有状态变量都是可控的；从输出方程看，输出y能反映状态变量，的变化，似乎系统是可观测的。实际上，这个系统的两个状态变量既不是完全可控的，也不是完全可观测的。要解释和说明这一情况，就必须首先弄清楚

4、可控性和可观性的严格定义及判别方法。4-2 线性定常连续系统的可控性一、线性定常连续系统状态可控性的定义定义4.1（状态可控性定义）：对于线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，使得系统从某一初始状态转移到指定的任一终端状态，则称此状态是可控的。若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。关于可控性定义的说明： （1）上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态，那么相平面上的P点是可控状态。假如可控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入，使得在有限时间间隔内，将此状

5、态转移到状态空间中的任一指定状态，则该系统称为状态完全可控。PP3P1P2PnP40x1x2可控状态的图形说明（2）在可控性定义中，把系统的初始状态取为状态空间中的任意有限点，而终端状态也规定为状态空间中的任意点，这种定义方式不便于写成解析形式。为了便于数学处理，而又不失一般性，我们把上面的可控性定义分两种情况叙述：把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点，而终端目标规定为状态空间中的原点。于是原可控性定义可表述为：对于给定的线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由任意非零初始状态转移到零状态，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。把系统的初始状态规定

6、为状态空间的原点，即，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下：对于给定的线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由零初始状态转移到任一指定的非零终端状态，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；在以后对可控性的讨论中，均规定目标状态为状态空间中的原点，并且我们所关心的，只是是否存在某个分段连续的输入，能否把任意初始状态转移到零状态，并不要求算出具体的输入和状态轨线。二、可控性的判别准则定理4.1：（可控性秩判据） 对于n阶线性定常系统，其系统状态完全可控的充分必要条件是：由A、B构成的可控性判别矩阵

7、 满秩，即 其中，n为该系统的维数。【例4.2.1】判别下列状态方程的可控性。（1） （2）（3） （4）解：（1），系统不可控。 （2），系统不可控。 （3），系统可控。（4）， 系统不可控。定理4.2： 设线性定常系统，具有互不相同的实特征值，则其状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的对角标准型 中，阵不存在全零行。非奇异线性变换的不变特性：（1） 线性变换后，可控性不变；（2） 线性变换后，可观性不变。【例4.2.2】判别下列系统的状态可控性。（1） （2）（3） （4）解：（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。（2）状态方程为对角标准型，B

8、阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。（3）系统可控。（4）系统不可控。【例4.2.3】判别下列系统的状态可控性。 解：在应用定理4.2这个判别准则时，应注意到“特征值互不相同”这个条件，如果特征值不是互不相同的，即对角阵中含有相同元素时，上述判据不适用。应根据定理4.1的秩判据来判断。对于本题： ，即系统是不可控的。定理4.3： 若线性定常系统，具有重实特征值，且每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的约当标准型 中，每个约当小块（）最后一行所对应的阵中的各行元素不全为零。【例4.2.4】判别下列系统的状态可控性。（1） （2）（3）

9、（4）（5） （6）解：（1）系统是可控的。 （2）系统是不可控的。 （3）系统是可控的。 （4）系统是不可控的。 （5）系统是不可控的。 （6）系统不可控（注意定理4 .3中“且每一个重特征值只对应一个独立特征向量”这一关键点）。当不满足定理4.3中的条件时，应使用秩判据。 ，即系统是不可控的。关于定理4 .3的小结：（1）输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不存在全零行。（2）阵中与互异特征值所对应的行不存在全零行。（3）当A阵的相同特征值分布在阵的两个或更多的约当块时，如，以上判据不适用，可根据定理4.1秩判据来判别。4-3 线性定常离散系统的可控性定义4.2（离散系统的可控性定义）：对

10、于n阶线性定常离散系统，若存在控制作用序列，在有限时间间隔内，能使系统从任意非零初始状态经有限步转移到零状态，即，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。【例4.3.1】设离散系统的状态方程为 试分析能否找到控制作用，将初始状态转移到零状态。解：利用递推法： 为检验该系统能否在第一步由转移到零状态，对上式令，若能够解出，则表示在第一步上就可以把给定初始状态转移到零状态，且控制作用为。为此，令，则有，即 表明对该系统若取，能将在第一步上转移到零状态。【例4.3.2】设离散系统的状态方程为 试分析能否找到控制作用，将初始状态转移到零状态。解：利用递推，有 显然，若令，该方程解不出，这说明对于

11、该系统不能在第一步由初始状态转移到零状态，须再递推一步。 若令，该线性方程解对、无解，说明该系统不能在第二步由初始状态转移到零状态，还须递推一步。 若令，上式便是一个含有三个未知量的齐次方程 解此齐次方程，有 就是说，该系统在的控制作用下，能在第三步上由初始状态转移到零状态。定理4.4：（线性定常离散系统可控性秩判据） 线性定常离散系统，其状态完全可控的充分必要条件是：由G、H构成的可控性判别矩阵 满秩，即 【例4.3.3】设离散系统的状态方程为 试判别其可控性。解： 所以离散系统是不可控的。【例4.3.4】设离散系统的状态方程为 试判别其可控性。解： 所以离散系统是可控的。【例4.3.5】设

12、离散系统的状态方程为 试判别其可控性；若初始状态，确定使的控制序列；研究使的可能性。解： ，所以离散系统是状态完全可控的。 令，即 解此齐次方程，有 若令，即解如下方程组： 此方程组无解。也就是说不能在第二个采样周期内使给定状态转移到原点。4-4 可控标准型及输出可控性一、可控标准型问题1、可控标准型 我们称如下SISO系统或MIMO系统的状态方程为可控标准型。 原因是与此状态方程相对应的可控性判别矩阵 ，所以系统是可控的。%Example for MATLAB A=sym(0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1;-a0,-a1,-a2,-a3);b=sym(0;0;0;1);Qc=s

13、implify(b,A*b,A2*b,A3*b)运行结果：0, 0, 0, 10, 0, 1, -a30, 1, -a3, -a2+a321, -a3, -a2+a32, -a1+2*a3*a2-a332、如何将可控系统的状态方程化为可控标准型 一个可控系统，当A，b不具有可控标准型时，可以选择适当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为： 进行非奇异变换：，变换为： 其中：， 可控标准型变换阵P的确定方法：（1）计算可控性判别矩阵：（2）计算，并设的一般形式为： （3）取的最后一行，构成 （4）按下列方式构造阵 （5），便是化可控标准型的非奇异变换阵。【例4.4.1】已知系统的状态方程为 试判

14、别状态可控性，如可控将状态方程化为可控标准型。解：（1）首先判别可控性 ，故系统是可控的。（2）化可控标准型 即有可控标准型 %Example 4.4.1 for MATLAB programA=1,0;0,2;b=1;1;Qc=b,A*bx=rank(Qc);if x=2 该系统状态完全可控 invQc=inv(Qc); invp1=invQc(length(Qc),:); invp=invp1;invp1*A; p=inv(invp) AA=invp*A*p bb=invp*belse 该系统状态不可控end二、输出可控性定义4.3（输出可控性定义）：对于线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，使得系统从任意初始输出转移到指定的任意最终输出，则称该系统是输出完全可控的，简称系统输出可控。定理4.5：（系统输出可控性判据） 设线性定常连续系统，其输出可控的充分必要条件是：由A、B、C、D构成的输出可控性判别矩阵 的秩等于输出变量的维数q，即 说明： 一