九年级数学上册 28.4 垂径定理 圆的对称性应用例析2素材 （新版）冀教版

1、圆的对称性应用例析2圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，利用这个“对称性”，我们可以得到垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.结合圆的特点，我们体会它们的用处：【例1】在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图1所示,若油面宽AB=0.6米,则油的最大深度为_.图1分析：本题考查垂径定理和勾股定理.欲求油的最大深度,就是求图1中弓形高CD=ODOC,所以关键是求OC,利用勾股定理在AOC中可求出.通过本题可看出图中弦长a,弦心距d,半径r,与弓形高h四者之间的关系,要特别明确:r=h+d;r2=()2+d2,由两个式子可知对于a、d、r、h这四个量,已知两个,另外两

2、个一定能求,我们应该熟记.解：作半径ODAB于C,AC=AB=0.6=0.3.在RtAOC中,OC=0.4,CD=ODOC=0.50.4=0.1(米).油的最大深度为0.1米.【例2】在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8厘米,另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为_.分析：本题考查垂径定理和勾股定理.根据题意,画出图形,这是与半径、弦长有关的问题,很自然联想到垂径定理,作出垂径,根据弦长a,圆心到弦的距离d,半径r三者之间的关系r2=()2+d2可求出弦心距d,从而问题解决.解答本题时,一定要注意分两种情况讨论,两条平行弦可能在圆心两侧,也可能在圆心同侧.解：如图2所示,如果两

3、条平行弦在圆心两侧,过O作EFAB于E,EFCD于F,连结AO、CO,在RtAOE中,OE=3,在RtCOF中,OF=4,EF=OE+OF=7(厘米).图2 图3如图3所示,如果两条平行弦在圆心同侧,过O作OEAB于E,延长OE交CD于F.ABCD,则OFCD,连结AO、CO,在RtAOE中,OE=3,在RtCOF中,OF=4,EF=OFOE=1(厘米).【例3】已知：如图4，AB是O的直径，弦CDAB于P，CD10cm，AP:PB1:5.求：O的半径.图3分析：已知直径AB弦CD，利用垂径定理可知PC=CD=5cm，可设AP=x，PB=5x，直径AB=6x，连结OC，则OC=3x，把已知和未

4、知集中在RtCPO中，利用勾股定理可以求解.一个圆的半径有无数条，在解题时要利用好这个条件，并能恰当地增添辅助线.连结OC，构造出一个直角三角形，利用勾股定理便可以使问题得以解决.在圆中有关弦，弦心距，半径的问题常作的辅助线是连半径或作弦心距，常把垂径定理和勾股定理结合起来解题.解：连结OCAP:PB1:5.设APx，PB5x，ABAPPB6x.直径AB弦CD.PCPDCD5cm.OCOA3x.PO2x.在RtPOC中，根据勾股定理，得OC2PC2OP2.(3x)252(2x)2.解方程，得x，x不合题意，舍去.O的半径为3cm.【例4】“圆材埋壁”是我国古代数学著作九章算术中的一个问题,“今有圆材,埋壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何？”用现在的数学语言表述是:“如图3216所示,CD为O的直径,弦ABCD,垂足为E, CE=1寸,求直径CD的长.”图5分析：本题是考查垂径定理和勾股定理的一道跨学科试题.解决本题的关键是理解题意,把文言文翻译成数学语言,然后画出几何图形,再利用数学知识来解决.解：连结OA.ABCD,CD为直径,AE=AB=1