第五章中心力场

1、第五章,中,心,力,场,本,章,要,求,1.,掌握,中心力场中粒子运动的一般性质。,2.,掌握,氢原子的量子力学处理方法和相关,的结果；,了解,原子磁矩的概念。,3.,了解,类氢体系的一些基本概念,第五章,中,心,力,场,教,学,内,容,1,中心力场中粒子运动的一般性质,2,氢原子,类氢体系,1,中心力场中粒子运动的一般性质,（一）何谓中心力场,粒子的受力经过某个固定的中心（,力心,），其,势能只是粒子到力心的距离,r,的函数，即,V,(,r,),，为,球对称势,。（例如,Coulomb,场）,中心力场中运动的粒子，其,角动量守恒,。,l,?,2,H,?,?,0,l,?,?,H,?,?,0,?

2、,?,x,y,z,(,具体理由见第四章,),（二）径向波函数与径向方程,中心势场,V,(,r,),中运动的粒子，其,Hamilton,量为,?,?,?,H,2,2,?,?,?,V,(,r,),2,（,?,粒子质量）,因为,V,(,r,),球对称，故采用球坐标系。球坐标系下,1,?,2,?,1,1,?,?,1,?,?,?,2,(,r,),?,2,(sin,?,),?,2,2,r,?,r,?,r,r,sin,?,?,?,?,?,sin,?,?,?,2,2,2,?,?,2,?,l,?,2,?,?,2,2,?,r,r,?,r,r,2,（,球坐标系,）,能量本征值方程（定态薛定谔方程）,2,?,?,2,

3、?,l,?,(,2,?,),?,2,?,V,(,r,),?,?,E,?,（,1,）,2,?,?,r,r,?,r,2,r,2,2,三者有共同的本征函数，故能量本征函数，也即方,2,?,?,程,(1),的解同时可以选取为,(,l,l,z,),的共同本征态：,2,?,?,?,取体系,(,自由度,3),的力学量完全集为,(,H,l,l,z,),。,?,(,r,?,?,),?,R,(,r,),Y,lm,(,?,?,),角量子数,l,?,0,1,2,.,（,2,）,磁量子数,m,?,?,l,?,l,?,1,.,l,R,(,r,),径向波函数,；,Y,lm,(,?,?,),角向波函数,(2),式代入,(1)

4、,式：,2,?,?,2,?,l,?,(,2,?,),?,2,?,V,(,r,),R,(,r,),Y,lm,(,?,?,),2,?,?,r,r,?,r,2,r,?,ER,(,r,),Y,lm,(,?,?,),2,2,由于,2,2,?,l,Y,lm,(,?,?,),?,l,(,l,?,1),Y,lm,(,?,?,),所以径向波函数,R,(,r,),满足的方程：,d,2,d,2,?,l,(,l,?,1),R,(,r,),?,R,(,r,),?,(,E,?,V,(,r,),?,R,(,r,),?,0,2,2,2,dr,r,dr,r,（,3,）,作代换,2,R,(,r,),?,?,(,r,),r,d,2

5、,?,l,(,l,?,1),（,4,）,?,(,r,),?,(,E,?,V,(,r,),?,?,(,r,),?,0,2,2,2,dr,r,式,(3),或,(4),可见，中心势场,V,(,r,),只决定了径向波函数,R,(,r,),或,?,(,r,),的形式，因此不同中心势场中的粒子，,其能量本征函数的差别仅在于径向波函数,R,(,r,),。而,且径向波函数与角量子数,l,有关，但与磁量子数,m,无关，因此能级有,简并,。,将径向波函数,R,(,r,),或,?,(,r,),改记为,2,R,l,(,r,),或,?,l,(,r,),（三）径向波函数的渐进行为,求解中心力场中粒子波函数关键是求径向波函

6、数，,即求解径向方程,(3),或,(4),。径向方程,(3),或,(4),属变系,数微分方程，求解策略：“,抓两头、带中间,”。,1.,径向波函数在,r,?,0,的渐进行为,中心势场通常满足条件,lim,r,V,(,r,),?,0,r,?,0,2,则当,r,?,0,时，方程,(3),渐进地表示为,d,2,d,l,(,l,?,1),（,5,）,R,(,r,),?,R,(,r,),?,R,(,r,),?,0,l,l,2,l,2,dr,r,dr,r,2,取,(5),式的级数解,R,l,(,r,),?,?,b,?,r,v,?,0,?,?,代入,(5),式，取,r,同次幂的系数为,0,，得到,?,?,l

7、,or,?,(,l,?,1),即,r,?,0,时，,R,l,(,r,),?,r,or,r,l,?,(,l,?,1),发散解,(,舍去,),因此，在,r,?,0,时径向波函数的渐进行为,R,l,(,r,),?,r,l,或,?,(,r,),?,rR,l,(,r,),?,r,l,?,1,2.,径向波函数在,r,?,的渐进行为,当,r,?,的时，径向方程,(4),近似为,d,2,?,?,(,r,),?,(,E,?,V,(,r,),?,(,r,),?,0,2,2,dr,e,V,(,r,),?,?,(CGS),r,2,2,（,6,）,对于,氢原子问题，中心势场为,Coulomb,势,，即,故当,r,?,的

8、时，方程,(6),进一步简化为,d,2,?,?,(,r,),?,E,?,(,r,),?,0,2,2,dr,2,（,7,）,d,2,?,?,(,r,),?,E,?,(,r,),?,0,（,7,）,2,2,dr,2,?,2,当,E,0,时,，令,(7),的解,k,?,2,，方程,E,2,?,(,r,),?,c,1,e,?,c,2,e,ikr,ikr,?,ikr,?,ikr,e,e,?,R,(,r,),?,c,1,?,c,2,r,r,2,第,1,项发散球面,波（被原子散,射）；第,2,项会,聚球面波,(,入射,),k,的取值无限制，故,E,可取,0,的任意值，构成连续谱,。,R,(,?,),?,0,

9、非束缚态,，对应量子,散射,问题,d,2,?,?,(,r,),?,E,?,(,r,),?,0,2,2,dr,2,2,（,7,）,当,E, 0,时,，令,?,?,?,2,E,，方程,(7),的解,2,?,?,(,r,),?,c,1,e,?,c,2,e,?,R,(,r,),?,c,R,(,?,),?,0,2,?,r,?,?,r,e,?,?,r,r,（第,1,项不满足波函,数标准化条件，舍去）,束缚态,，,?,取值将受限制，导致,E,只能取,分立值,。,（四）两体问题转化为单体问题,象氢原子这类中心力场问题，通常是两体问题,（核外电子和原子核）。对于二体问题，使用质心,坐标系可以把它转化为一个粒子在

10、势场中运动的单,体问题。,两质量分别为,m,1,和,m,2,的粒子，相互作用,V,(,r,1,?,r,2,),只依赖于相对距离,r,?,r,1,?,r,2,，这个二粒子体系的能,量本征方程为：,2,2,?,2,m,1,?,?,2,1,2,m,2,?,?,V,(,r,1,?,r,2,),?,(,r,1,r,2,),?,E,T,?,(,r,1,r,2,),(8),2,2,r,E,T,为体系总能量，引进,质心坐标,R,和,相对坐标,m,1,r,1,?,m,2,r,2,R,?,m,1,?,m,2,可以证明：,r,?,r,1,?,r,2,z,m,1,r,1,r,R,x,O,1,2,1,2,1,2,1,2

11、,?,1,?,?,2,?,?,R,?,?,m,1,m,2,M,?,(9),其中,M,?,m,1,?,m,2,r,2,m,2,y,+,?,?,m,1,m,2,(,m,1,?,m,2,),?,?,?,?,?,?,2,?,2,2,?,X,?,Y,?,Z,2,R,2,2,2,约化质量,?,?,?,?,?,2,?,2,?,2,?,x,?,y,?,z,2,2,2,2,m,1,?,?,?,X,?,?,x,?,?,证明：,?,?,?,?,?,x,1,?,X,?,x,1,?,x,?,x,1,m,1,?,m,2,?,X,?,x,m,2,?,?,?,X,?,?,x,?,?,?,?,?,?,同理,?,x,2,?,X,

12、?,x,2,?,x,?,x,2,m,1,?,m,2,?,X,?,x,m,1,?,1,?,?,R,?,?,;,m,1,?,m,2,m,2,?,2,?,?,R,?,?,m,1,?,m,2,2,2,?,?,1,2,1,2,1,?,m,1,1,?,m,2,?,1,?,?,2,?,?,?,R,?,?,?,?,?,?,R,?,?,?,m,1,m,2,m,1,?,m,1,?,m,2,?,m,2,?,m,1,?,m,2,?,1,2,1,2,1,2,1,2,?,?,1,?,?,2,?,?,R,?,?,m,1,m,2,M,?,(9),式代入,(8),式有,2,2,?,2,M,?,?,2,R,2,?,?,?,V,(

13、,r,),?,(,r,1,r,2,),?,E,T,?,(,r,1,r,2,),方程的解？,（平面波）,2,分离变量：,2,?,(,r,1,r,2,),?,?,(,R,),?,(,r,),?,?,2,M,2,?,?,(,R,),?,E,C,?,(,R,),2,2,R,描述质心运动（自由,粒子能量本征方程）,2,?,?,?,V,(,r,),?,(,r,),?,E,?,(,r,),E,?,E,T,?,E,C,描述相对运动，,E,是相对运动,能量（单粒子能量本征方程）,两体问题,单体问题,2,氢原子,类氢体系,量子力学发展史上最突出的成就之,一是对氢原子光谱和化学元素周期律给,予了相当满意的解释。氢原

14、子是,最简单,的原子,，其,Schr,?,dinger,方程可以严格,求解，氢原子理论还是了解复杂原子及,分子结构的基础。,氢原子问题是,典型的中心力场问题,。,（一）两体问题归结为单体问题,氢原子问题涉及二体作用：质量为,m,1,的核外电,子和质量为,m,2,的原子核组成的二粒子体系,两者通,过,Coulomb,相互作用联系，,e,e,V,(,r,1,?,r,2,),?,?,?,?,r,1,?,r,2,r,2,2,2,2,引入质心坐标后，体系的薛定谔方程为,?,2,M,?,?,2,R,2,?,?,?,V,(,r,),?,(,r,1,r,2,),?,E,T,?,(,r,1,r,2,),2,分离

15、变量后，方程分裂为,2,个独立方程：,2,?,?,2,M,2,?,?,(,R,),?,E,C,?,(,R,),2,2,R,2,?,?,?,V,(,r,),?,(,r,),?,E,?,(,r,),E,?,E,T,?,E,C,?,第一式为质心的运动波函数,?,(,R,),满足的方程，,系一质量为,M,(=,m,1,+,m,2,),、以能量为,E,c,运动的自由,粒子的定态薛定谔方程，波函数,?,(,R,),为平面波，,因此,氢原子质心按自由粒子方式运动,，氢原子,整,体处于无外场作用下的平面波状态（确定状态）,。,2,?,?,2,M,2,?,?,(,R,),?,E,C,?,(,R,),2,2,R,

16、2,?,?,?,V,(,r,),?,(,r,),?,E,?,(,r,),E,?,E,T,?,E,C,?,第二式为氢原子内部运动波函数,?,(,r,),满足的方程，,它描述电子相对于核的运动状态，相对运动能量,E,就是电子的能级。氢原子内部运动相当于处于,Coulomb,场,V,(,r,),中的单电子的运动，只是,电子的质,量,m,1,必须用约化质量,?,取代,。相应地，第二式，即,波函数,?,(,r,),的求解按,1,所述方法处理。,因此，处理,氢原子问题归结为中心力场中单个,电子的运动问题,。,（二）氢原子束缚定态的能级和波函数,氢原子归结为中心力场中的单电子问题后，其波,函数,?,(,r,

17、),按,1,所述求解。则,?,(,r,?,?,),?,R,l,(,r,),Y,lm,(,?,?,),R,l,(,r,),?,?,l,(,r,),r,径向波函数,R,l,(,r,),或,?,l,(,r,),满足,1,的方程,(4),，即,d,2,?,e,l,(,l,?,1),（,4,）,?,(,r,),?,(,E,?,),?,?,(,r,),?,0,2,2,2,dr,r,r,若,E,0,:,自由定态,电子从原子内电离,连续能谱,若,E,0,:,束缚定态,电子被束缚在原子内,分立能谱,2,2,考虑氢原子的,束缚态,，即,E, 0,的情况，按,1,有关,结果，方程,(4),渐进行为：,r,?,0,?

18、,(,r,),?,r,其中,l,?,1,r,?,?,?,(,r,),?,e,?,?,?,2,?,?,r,2,?,2,E,?,是电子的约化质量,按照“抓两头、带中间”的策略，方程,(4),的解可,以表示成,?,(,r,),?,r,e,l,?,1,?,?,r,u,(,r,),回代方程,(4),，有,d,d,?,e,r,2,u,?,2(,l,?,1),?,2,?,r,u,?,2,?,(,l,?,1),?,2,u,?,0,dr,dr,再令,2,2,2,?,?,2,?,r,则上式写为,2,d,u,du,1,?,e,?,2,?,2(,l,?,1),?,?,?,(,l,?,1),?,u,?,0,2,d,?,

19、d,?,?,(9),这正是,合流超几何方程,（附录,A5,）,d,u,du,?,2,?,(,?,?,?,),?,?,u,?,0,d,?,d,?,其参数,2,?,?,2(,l,?,1),1,?,e,?,?,(,l,?,1),?,2,?,2,合流超几何方程的解为,合流超比函数,F,(,?,?,?,),，故,方程,(9),的解为,?,(,?,?,1).(,?,?,k,?,1),k,u,(,?,),?,F,(,?,?,?,),?,?,?,k,?,0,k,!,?,(,?,?,1).(,?,?,k,?,1),?,?,?,C,k,?,k,?,0,?,k,递推关系,?,?,k,?,1,C,k,?,C,k,?,

20、1,k,(,?,?,k,?,1),（,10,）,C,k,1,当,k,?,时，,?,和,e,?,的级数展开系数的比值相同,C,k,?,1,k,因此，当,?,?,时（即,r,?,），,u,(,?,)=,F,(,?,?,?,),的渐,进行为和,e,?,相同，即,?,?,lim,F,(,?,?,?,),?,e,?,?,?,这和波函数有限性条件矛盾，所以须将,F,(,?,?,?,),切断为多项式，只需在,(10),式中令,?,?,1,?,k,?,?,n,r,n,r,?,0,1,2,.,另一方面,1,?,e,?,?,(,l,?,1),?,2,?,2,令,n,?,n,r,?,l,?,1,n,?,1,2,3,

21、.,1,?,e,?,?,?,2,n,2,1,?,e,?,?,2,n,2,?,?,?,2,2,?,2,E,得到,氢原子束缚定态的能量,(,本征值,),：,?,e,1,e,1,E,n,?,?,2,2,?,?,n,?,1,2,3,.,2,2,n,2,a,n,2,4,2,a,?,?,e,2,?,0.529A,o,(,?,是电子的约化质量,),Bohr,半径,此即著名的,Bohr,氢原子能级公式，,n,称为主量子数,。,氢原子束缚定态的波函数,：,?,(,r,?,?,),?,R,l,(,r,),Y,lm,(,?,?,),R,l,(,r,),?,?,l,(,r,),r,?,(,r,),?,r,e,其中,l

22、,?,1,?,?,r,u,(,r,),u,(,?,),?,F,(,?,?,?,),?,F,(,?,n,r,2,l,?,2,?,),?,?,2,?,r,?,?,?,2,2,?,2,E,n,?,n,r,?,l,?,1,n,?,1,2,3,.,重新标记：,R,l,(,r,),?,R,nl,(,r,),?,(,r,?,?,),?,?,nlm,(,r,?,?,),因此与,E,n,相应的径向波函数可表示为：,R,?,?,2,nl,?,?,l,e,F,(,?,n,r,2,l,?,2,?,),归一化的径向波函数为,R,nl,(,r,),?,N,l,?,?,2,nl,?,e,F,(,?,n,?,l,?,1,2,

23、l,?,2,?,),其中,?,?,2,?,r,?,2,r,na,a,是,Bohr,半径,归一化系数,N,nl,由归一化条件确定：,?,2,?,?,nlm,(,r,?,?,),d,?,?,1,上式等价于,?,?,0,R,nl,(,r,),r,dr,?,1,2,2,2,（,11,）,归一化,条件,?,4,?,0,Y,lm,(,?,?,),d,?,?,1,或者,?,0,*,lm,（,12,）,?,?,0,2,?,Y,(,?,?,),Y,lm,(,?,?,)sin,?,d,?,d,?,?,1,由,(11),式解出归一化系数,2,(,n,?,l,)!,N,nl,?,3,2,2,a,n,(2,l,?,1)

24、!,(,n,?,l,?,1)!,综上，氢原子束缚定态的波函数及能量：,?,nlm,(,r,?,?,),?,R,nl,(,r,),Y,lm,(,?,?,),R,nl,(,r,),?,N,nl,?,e,其中,l,?,?,2,F,(,?,n,?,l,?,1,2,l,?,2,?,),2,r,?,?,na,a,是,Bohr,半径,2,(,n,?,l,)!,N,nl,?,3,2,2,a,n,(2,l,?,1)!,(,n,?,l,?,1)!,?,e,1,e,1,E,n,?,?,2,2,?,?,n,?,1,2,3,.,2,2,n,2,a,n,4,2,最低的几条能级的径向波函数是：,n,?,1,R,10,?,a

25、,3/,2,2,e,?,r,/,a,3/,2,?,2,1,a,r,n,?,2,R,20,(,r,),?,?,2,1,a,?,R,21,(,r,),?,?,2,1,a,?,(2,?,1,a,r,),e,1,a,3/,2,3/,2,re,3,?,2,1,a,r,2,?,3,1,a,r,n,?,3,R,30,(,r,),?,?,3,1,a,?,R,31,(,r,),?,?,R,32,(,r,),?,?,2,a,2,a,4,1,2,?,3,4,a,r,?,27,(,a,r,),e,2,27,3,1,?,?,3/,2,?,1,a,1,81,3,a,2,r,re,1,a,?,3,1,a,r,?,3,1,r

26、,a,3/,2,81,(,r,),e,15,氢原子内电子状态的光谱学标记,l,= 0,l,= 1,l,= 2,l,= 3,l,= 4,l,= 5,s,p,d,f,g,h,n,= 1 1,s,n,= 2 2,s,2,p,n,= 3 3,s,3,p,3,d,n,= 4 4,s,4,p,4,d,4,f,n,= 5 5,s,5,p,5,d,5,f,5,g,n,= 6 6,s,6,p,6,d,6,f,6,g,6,h,（三）讨论,1.,能级简并,?,e,1,e,1,E,n,?,?,2,2,?,?,n,?,1,2,3,.,2,2,n,2,a,n,?,nlm,(,r,?,?,),?,R,nl,(,r,),Y,

27、lm,(,?,?,),能量只与主量子数,n,有关，而本征函数与,n,?, m,有,关，故能级存在简并。,给定能级,E,n,(,即,给定主量子数,n,),，角量子数,l,4,2,l,?,n,?,n,r,?,1,?,0,1,.,n,?,1,相应的,n,r,?,n,?,1,n,?,2,.,0,而磁量子数,m,有（,2,l,+1,）个可能值：,m,?,?,l,?,l,?,1,.,l,?,1,l,因此，属于,E,n,的量子态,?,nlm,数目,n,?,1,l,?,0,f,n,?,?,(2,l,?,1),?,n,即,氢原子能级,n,2,度简并,。,2,但,基态能级不简并,，,E,1,=,e,4,/ 2,?

28、,2,=-13.6eV,，相,应基态波函数是,?,100,=,R,10,Y,00,。,（三）讨论,2.,氢原子内电子位置的几率分布,r,在束缚定态,?,nlm,(,r,),下，氢原子内的电子在位置,附近的体积元,d,?,内出现的几率为：,?,nlm,(,r,),d,?,?,R,(,r,),r,dr,?,Y,lm,(,?,?,),d,?,2,nl,2,2,2,d,?,?,r,drd,?,?,r,sin,?,drd,?,d,?,2,2,(12),A.,径向位置概率分布,考虑在,(,r, r+dr,),的球壳内（不管方向）找到电子的,概率，由,(12),式，结果为,R,(,r,),r,d,r,?,?

29、,2,nl,2,2,nl,2,4,?,0,Y,l,m,(,?,?,),d,?,使用球谐函数,归一化条件,2,?,R,(,r,),r,dr,?,?,(,r,),dr,径向位置的概率分布函数,2,nl,?,(,r,),?,R,(,r,),r,2,nl,2,nl,2,s,电子的,径向位置概率分布曲线（,l,= 0,）,?,nl,2,r,a,p,电子的,径向位置概率分布曲线,(,l,= 1 ),?,nl,2,r,a,d,电子的径向位置概率分布曲线,(,l,= 2),?,nl,2,r,a,径向概率分布函数的基本特征：,（,1,）,径向概率分布函数在,r,= 0,和,r,=,?,两点都等于零。,（,2,）

30、,径向几率分布函数除了,r,= 0,和,r,=,?,两点外还,有,(,n,l,1=,n,r,),个节点（零点），因而有,(,n,l,),个极大值。,（,3,）,对于,l,=,n,1,（即,n,r,= 0,）的态,，径向几率分布,函数有唯一极大值，可以求出,?,n,n,?,1,(,r,),取极大值的,2,径向位置：,R,nl,(,r,),?,N,nl,?,e,l,?,?,2,F,(,?,n,?,l,?,1,2,l,?,2,?,),n,r,?,0,?,?,?,0,?,F,(0,?,?,),?,1,(A5 -7),R,n,n,?,1,(,r,),?,C,?,r,2,2,r,?,na,n,?,1,e,

31、C,是常数,2,2,r,?,na,2,n,?,n,n,?,1,(,r,),?,r,R,极值位置：,2,2,n,n,?,1,(,r,),?,C,?,r,e,r,n,?,n,a,n,?,1,2,3,.,最可几半径,最可几半径与玻尔氢原子量子论中电子圆周运动轨,道半径完全一致。,因而,l,=,n,1,（,n,r,= 0,）的态称为,“圆轨道”,，除两端外，它们无节点。,B.,角向位置概率分布,在束缚定态,?,nlm,(,r,),下，在空间立体角元,d,?,中（不,管径向位置,r,），找到电子的概率可由,(12),式算出：,?,?,0,R,(,r,),r,dr,?,Y,l,m,(,?,?,),d,?,

32、2,2,2,nl,2,2,?,Y,lm,(,?,?,),d,?,?,Y,lm,(,?,?,),sin,?,d,?,d,?,角向位置的概率分布函数,Y,lm,(,?,?,),?,P,l,(cos,?,),2,m,2,与,?,角无关，故角分布函数绕,z,轴旋转对称。,?,=0,m,=0,：,Y,00,= (1/4,?,),，与,?,也无关，球对称分布。,z,y,x,Y,2,00,s,态电子,?,=1,m,=,1,时,，,Y,1,1,(),=(3/8,)sin,2,?,。,在,?,=/,2,时,，,有最大值。在,?,=0,（,z,向）时，,Y,1,1,= 0,Y,1,?,1,2,?,=1,m,=0,

33、时，,Y,1,0,(,?,) =,(3/4,) cos,2,?,。正好与上,面相反，在,?,= 0,时，最,大；在,?,=/2,时，等于,零。,?,= 2,Y,20,2,Y,21,2,Y,22,2,电子坐标取值几率的角向分布函数随角度,?,的变化,有明确的方向性：,分子中共价键的方向性,（三）讨论,3.,电流分布与原子磁矩,在,?,nlm,态下，电子的电流密度,ie,*,*,j,?,?,eJ,?,?,(,?,nlm,?,?,nlm,?,?,nlm,?,?,nlm,),2,?,在球坐标中，易知,z,j,r,?,j,?,?,0,m,?,nlm,j,?,?,?,e,?,r,sin,?,2,j,?,?

34、,d,?,r,o,j,?,是绕,z,轴的环电流密度（如图）,通过细环截面,d,?,的电流为：,z,dI,?,j,?,d,?,对磁矩的贡献为：,dM,?,SdI,?,?,(,r,sin,?,),j,?,d,?,M,z,?,?,SdI,?,?,?,r,sin,?,j,?,d,?,2,2,2,j,?,?,d,?,r,o,氢原子在束缚定态,?,nlm,下总磁矩的大小为：,e,2,?,?,m,?,?,nlm,(,r,),2,?,r,sin,?,d,?,2,?,e,2,em,?,?,m,?,?,nlm,(,r,),d,?,?,?,2,?,2,?,归一化,条件,el,z,em,M,z,?,?,?,?,2,?

35、,2,?,轨道磁矩,s,态电子,(,l,=0,m,=0),，轨道磁矩为,0,M,z,e,?,?,?,g,l,z,2,?,回转磁比值或,g,因子,em,M,z,?,?,?,?,m,?,B,2,?,e,?,B,?,2,?,Bohr,磁子,注：在,CGS,制中，以上各式分母应乘上光速,c,（三）讨论,4.,类氢离子,核外只有一个电子，而核电荷数,Z,大于,1,的离子，,如,He,+,，,Li,+,，,Be,+,等。势能算符为：,Ze,V,(,r,),?,?,r,2,2,因此,氢原子的结果都适用于类氢离子，但需做代换,：,e,?,Ze,a,a,?,Z,2,类氢离子：,?,e,Z,1,E,n,?,?,n,?,1,2,3,.,2,2,2,n,?,nlm,(,r,?,?,),?,R,nl,(,r,),Y,lm,(,?,?,),R,nl