概率论第五章复习习题课讲解

1、1,引进了大数定律的概念，要了解大数定律的意,义和内容，理解贝努里、辛钦大数定律，了解,契比雪夫大数定律。,2,阐述了中心极限定理的含义及其客观背景，要,掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛,-,拉普,拉斯定理，,会利用中心极限定理解决一般实际,应用问题。,第五章,小,结,返回主目录,1,大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,1,.,大数定律,在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性，还,有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。,定义,1,：,设,是随机变量序列，,是一个常数；,若对任意,，有,:,则称,依概率收敛于,，记为,。,?,?,1,n,Y,Y,0,?,?,1,|,|,lim,?,?,

2、?,?,?,?,a,Y,P,n,n,?,?,1,n,Y,Y,a,Y,P,n,?,?,a,a,返回主目录,若,a,P,n,X,?,?,，,b,P,n,Y,?,?,，,在点,连续，,则：,),(,),(,b,a,g,P,n,Y,n,X,g,?,?,。,),(,y,x,g,),(,b,a,定理,1,：,1,大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,定理,2,（切比晓夫大数定律）,设随机变量,?,?,1,n,X,X,相互独立，,且具有相同的数学期,望及方差，,，,，,，,?,2,1,2,?,?,?,k,DX,EX,k,k,?,?,令,?,?,?,n,k,k,n,X,n,Y,1,1,，,则：对任意的,0

3、,?,?,，有,:,1,|,1,|,lim,|,|,lim,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,k,k,n,n,n,X,n,P,Y,P,或,0,|,1,|,lim,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,k,k,n,X,n,P,返回主目录,定理,3,（贝努里大数定律）,设,A,n,是,n,次独立重复试验中事件,A,发生的次数，,p,是事件,A,发生的概率，,则：对任意的,0,?,?,，有,1,|,|,lim,?,?,?,?,?,?,?,p,n,n,P,A,n,或,0,|,|,lim,?,?,?,?,?,?,?,p,n,n,P,A,n,1,大数

4、定律,第五章,大数定律及中心极限定理,定理,4,（辛钦大数定律）,设,?,?,1,n,X,X,相互独立同分布，且具有,数学期望,?,?,2,1,n,k,EX,k,?,?,，,?,，,则：对任意的,0,?,?,，有,1,|,1,|,lim,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,i,i,n,X,n,P,1,大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,注：,贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。,返回主目录,2,中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,2,.,中心极限定理,定义：,设,?,?,1,n,X,X,是独立的随机变量序列，,k,k,DX,EX,，,存在，令：,?,?,?,?,

5、?,?,?,?,n,k,k,n,k,k,n,k,k,n,DX,EX,X,Z,1,1,1,/,),(,，,若对任意,1,R,x,?,，有,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,t,n,n,dt,e,x,Z,P,2,2,2,1,lim,?,。,则称,n,X,服从中心极限定理。,返回主目录,2,中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,（独立同分布的中心极限定理）,设,?,?,1,n,X,X,是独立同分布的随机变量序,列，且,),2,1,(,0,2,?,?,?,?,?,k,DX,EX,k,k,?,?,，,则,n,X,服从中心极限定理，即：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,t

6、,n,k,k,n,dt,e,x,n,n,X,P,2,1,2,2,1,lim,?,?,?,定理,1,返回主目录,则,n,X,服从中心极限定理，即：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,t,n,k,k,k,n,k,k,n,dt,e,x,DX,X,P,2,1,1,2,2,1,),(,lim,?,?,2,中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,定理,2,（李雅普诺夫定理）,，,若存在正数,，设,，,相互独立，且,设,?,?,?,?,),2,1,(,0,1,2,2,2,1,?,?,?,?,?,?,?,n,k,k,n,k,k,k,k,n,B,k,DX,EX,X,X,?,?,?

7、,0,|,|,1,1,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,n,k,k,k,n,X,E,B,n,?,?,?,时，,使得当,(Liapunov,定理,),返回主目录,第五章,大数定律及中心极限定理,则对于任意,，恒有：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,t,n,n,dt,e,x,npq,np,P,2,2,2,1,lim,?,?,x,),1,(,p,q,?,?,定理,3,（德莫佛,-,拉普拉斯定理）,),2,1,(,?,?,n,n,?,设随机变量,服从参数为,n,p(0p1),的二,项分布,).,(,p,n,B,n,?,，即,(De Moivre-Laplace),2,中心极限定理,第五章

8、,大数定律及中心极限定理,推论：,),2,1,(,?,?,n,n,?,设随机变量,服从参数为,n , p (0p1),的,二项分布,当,n,充分大时有：,),(,),(,npq,np,a,npq,np,b,npq,np,b,npq,np,npq,np,a,P,b,a,P,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,说明：,这个公式给出了,n,较大时二项分布的概率,计算方法。,).,(,p,n,B,n,?,即,返回主目录,2,中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,例,1,某车间有,200,台车床，它们独立地工作着，开工,率为,0.6,开工时耗电各为,1,千瓦，

9、问供电所至少要,供给这个车间多少电力才能以,99.9%,的概率保证,这个车间不会因供电不足而影响生产。,解：,，,数为,记某时在工作着的车床,X,.,B(200,0.6),X,则,设至少要供给这个车间,r,千瓦电才能以,99.9%,的概率,保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题,意有：,),4,.,0,6,.,0,200,6,.,0,200,(,),4,.,0,6,.,0,200,6,.,0,200,(,),4,.,0,(,),6,.,0,(,0,200,200,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,r,C,r,X,P,r,k,k,k,k,返回主目录,2,中心

10、极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,141.,r,1,.,3,48,120,-,r,999,.,0,),48,120,(,),32,.,17,(,),48,120,(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,所以,查表得,r,r,即供给,141,千瓦电就能以,99.9%,的概率保证这个车间,不会因供电不足而影响生产。,返回主目录,2,中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,用频率估计概率时误差的估计：,由上面的定理知,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,np,n,P,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,p,n,n,P,1,2,?,?,?,?,?,?,?,

11、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,pq,n,pq,n,pq,n,pq,n,npq,np,n,pq,n,P,?,?,?,?,?,?,用这个关系式可解决许多计算问题。,返回主目录,2,中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,例,2.,现有一批种子，其中良种占,1/6,。今任取,6000,粒，,问能以,0.99,的概率保证在这,6000,粒种子中良种所,占的比例与,1/6,的差不超过多少？相应的良种粒数,在哪个范围内？,解：,.,6,/,1,6000,),(,?,?,p

12、,n,p,n,B,X,X,其中,，则,设良种数为,99,.,0,6,1,-,6000,P,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,X,，则应有：,设不超过的界限为,由德莫佛,-,拉普拉斯定理,返回主目录,第五章,大数定律及中心极限定理,?,?,?,?,?,?,?,?,6,1,-,6000,P,X,故近似地有,99,.,0,1,6,/,5,6,/,1,6000,6000,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,.,6,/,1,6000,?,?,p,n,),(,lim,x,x,npq,np,P,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,

13、6,/,5,6,/,1,6000,6000,6,/,5,6,/,1,6000,6,/,1,6000,P,?,X,1,6,/,5,6,/,1,6000,6000,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,返回主目录,2,中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,995,.,0,6,/,5,6,/,1,6000,6000,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,即,58,.,2,6,/,5,6,/,1,6000,6000,?,?,?,?,查表得,.,0124,.,0,?,?,解得,良种粒数,X,的范围为,6000,),0124,.,0,6,/,1,(,6000,),0124,.,

14、0,6,/,1,(,?,?,?,?,?,?,X,.,1075,925,?,?,X,即,?,?,6,1,-,6000,X,返回主目录,2,中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,例,3,设一个系统由,100,个相互独立起作用的部件组成，,每个部件的损坏率为,0.1,。为了使整个系统正常工,作，至少必须有,85,个部件正常工作，求整个系统,正常工作的概率。,解：,设,X,是损坏的部件数，则,XB(100,0.1),。则整个,系统能正常工作当且仅当,X 15.,?,由德莫佛,-,拉普拉斯定理有,.,952,.,0,3,5,9,.,0,1,.,0,100,1,.,0,100,15,9,.,0,1

15、,.,0,100,1,.,0,100,15,9,.,0,1,.,0,100,1,.,0,100,15,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,X,P,X,P,返回主目录,第五章,大数定律及中心极限定理,例,4,某单位有,200,台电话分机，每台分机有,5%,的时间,要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相,互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能,以,90%,以上的概率保证分机用外线时不等待？,解：,设有,X,部分机同时使用外线，则有,),(,p,n,B,X,.,08

16、,.,3,p),-,np(1,10,np,0.05,p,200,n,?,?,?,?,其中,设有,N,条外线。由题意有,9,.,0,?,?,N,X,P,由德莫佛,-,拉普拉斯定理有,.,08,.,3,10,),1,(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,N,p,np,np,N,条外线。,即至少要安装,取,即,14,14,.,94,.,13,?,?,N,N,.,90,.,0,),28,.,1,(,?,?,查表得,28,.,1,3.08,10,-,N,?,应满足条件,故,N,?,?,N,X,P,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),1,(,),1,(,p,np,np,N,p,np,np,X,P,求,PV105,近似值。,解：,),20,2,1,(,12,10,5,2,?,?,?,?,k,DV,EV,k,k,，,，,，由定理,1,知：,第五章,大数定律及中心极限定理,例,5,一加法器同时收到,20,个噪声电压,，,设它们是互相独立的随机变量，且都在区间,(0,10),上,服从均匀分布，记,)