空间几何体表面积与体积课件

1、,考纲要求,了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计,算公式,(,不要求记忆公式,),，并会求它们以及它们的简,单组合体的表面积和体积,.,命题趋势,1,、从考查内容看，高考试题中常与三视图结合考,查简单几何体、简单组合体的表面积和体积，注,重在知识的交汇点命题,2,、从考查形式看，多以选择题、填空题的形式出,现，属容易题,知识梳理,一、空间简单几何体的侧面展开图的形状,几何体名称,侧面展开图,形状,圆柱,矩形,圆锥,扇形,圆台,扇环,侧面展开图,几何体,名称,直棱柱,正,n,棱锥,n,个全等的等腰,三角形,正,n,棱台,n,个全等的等腰,梯形,侧面展,开图,矩形,形状,侧面展,开图,二、空间

2、简单几何体的侧面积和表面积,圆柱,圆锥,面积,S,侧,2,rl,S,侧,rl,体积,2,V,Sh,r,h,1,1,2,1,2,2,2,V,Sh,r,h,r,l,r,3,3,3,1,V,(,S,上,S,下,S,上,S,下,),h,3,1,2,2,(,r,1,r,2,r,1,r,2,),h,3,V,Sh,1,V,Sh,3,1,V,(,S,上,S,下,S,上,S,下,),h,3,4,3,V,R,3,圆台,直棱柱,正棱锥,S,侧,(,r,1,r,2,),l,S,侧,Ch,1,S,侧,Ch,2,1,S,侧,(,C,C,),h,2,S,球面,4,R,2,正棱台,球,三,、长方体、正方体,1,、长方体表面积

3、公式：,S,2(,ab,bc,ac,),，长方体体积公式：,abc,V,_.,2,3,6,a,a,2,、正方体表面积公式：,S,_,，正方体体积公式：,V,_.,2,2,2,3,、长方体对角线长等于,a,b,c,，正方体对角线长等于,_,3,a,4,、长方体的性质,:,BD,1,与相邻三个平面（如平面,A,1,ABB,1,、平面,ABCD,、,C,1,平面,B,BCC,）所成的角分别为,?,?,?,，,D,1,1,1,2,cos,?,?,cos,?,?,cos,?,?,A,1,BD,1,与一个顶点发出的三条棱,D,（如,BA,BB,1,BC,),所成的角分别为,?,?,?,2,2,2,1,co

4、s,?,?,cos,?,?,cos,?,?,A,2,2,2,B,1,C,B,四、正多面体与球,1,、正方体与球,D,1,C,1,外接球,：,R,?,3,a,2,A,1,B,1,内切球,：,r,?,a,2,D,o,与棱相切的球：,r,/,?,2,a,C,长方体外接球半径,2,A,a,B,求解与正方体相同,A,2,、正四面体与球,外接球：,R,?,3,4,AH,o,D,内切球：,r,?,1,4,AH,B,H,利用等体积法求半径,a,球,心,均,为,中,心,C,1,、几何体的侧面积和全面积,几何体的侧面积是指,(,各个,),侧面面积之和，而全,面积是侧面积与所有底面积之和对侧面积公式的记,忆，最好结

5、合几何体的侧面展开图来进行要特别留,意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相,关问题如直棱柱,(,圆柱,),侧面展开图是一矩形，则可,用矩形面积公式求解再如圆锥侧面展开图为扇形，,此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底,面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角,的大小,2,、求体积的两种方法：割补法与等积法,补法是把不规则,(,不熟悉的或复杂的,),几何体延伸,或补成规则的,(,熟悉的或简单的,),几何体，把不完,整的图形补成完整的图形割法是把复杂的,(,不规,则的,),几何体切割成简单的,(,规则的,),几何体,等积法包括等面积法和等体积法等体积法的前,提是几何图形,(,

6、或几何体,),的面积,(,或体积,),通过已知,条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图,形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和,三棱锥的高,3,、有关球的组合体的两种位置：内切和外接，如球,内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正,方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正,方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等,于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的,轴截面进行解题,4,、几何体的截面及应用,利用截面研究几何体，贯彻了空间问题平面化的,思想截面可以把几何体的性质、画法及证明、,计算融为一体常见截面有过棱柱、棱锥、棱台,的两条侧棱的截面、平行于底面的截面、旋转体,中的轴截面，球

7、中一般作过球心的截面,几何体的侧面积、全面积和体积,1,、,几何体侧面积是指,(,各个,),侧面面积之和，而全面积,是侧面积与所有底面积之和对侧面积公式的记忆，最好,结合几何体的侧面展开图来进行,（,1,）设圆柱的底面半径,r,，母线长,l,，,则其侧面积,S,侧面积,?,2,?,rl,，,全面积,S,全面积,?,2,?,rl,?,?,r,；,（,2,）设圆锥的底面半径为,r,，母线长为,l,，高为,h,，,则其侧面积,S,侧面积,?,?,rl,，全面积,S,全面积,?,?,rl,?,?,r,；,2,2,（,3,）设圆台的底面半径为,r,、,R,，母线长为,l,，高为,h,，,则其侧面积,S,

8、侧面积,?,?,(,r,?,R,),l,；,全面积,S,全面积,?,?,(,r,?,R,),l,?,?,r,?,?,R,；,（,4,）半径为,R,的球，表面积为：,S,?,4,?,R,；,2,2,2,2,、计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出,相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的,截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面,问题求解,3,、注意求体积的一些特殊方法：,分割法、补体法、,转化法等,，它们是解决一些不规则几何体体积计,算常用的方法，应熟练掌握,4,、,等积变换法：,利用三棱锥的任一个面可作为三棱,锥的底面,求体积时，可选择容易计算的方式来计算；,利用“等积法”可求“点到

9、面的距离”,例,1,、斜三棱柱,ABC,?,A,1,B,1,C,1,的底面是边长为,a,的正三角形，,侧棱长也为,a,，,?,A,1,AB,?,?,A,1,AC,?,60,，则斜三棱柱,的侧面积是,.,【解】,侧面为两个菱形与一个矩形，,菱形面积为：,C,1,A,1,B,1,C,D,O,0,1,3,3,2,2,S,1,?,2,?,?,a,?,?,a,，,2,2,2,2,矩形面积：,S,2,?,a,，,斜三棱柱的侧面积是,S,?,2,S,1,?,S,2,?,(,0,60,2,3,?,1,),a,60,0,A,B,例,2,、三棱锥三侧面两两垂直,三个侧面与底面分别成,30,45,60,角,底面面积

10、为,6,则体积,V,?,.,0,0,0,【解】,设三棱锥三条互相垂直的棱长分别为,a,b,c,，,1,由面积射影定理得：,2,ab,0,6,?,cos,60,，则,ab,?,6,，,A,bc,?,2,3,，,ac,?,3,2,，,1,a,V,?,6,abc,?,6,c,P,b,C,B,同理,例,3,、在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，若,E,，,F,分别为,AB,，,AC,的中,点，,平面,EB,1,C,1,将三棱柱分成体积为,V,1,，,V,2,(,V,1,V,2,),的两部分，,那么,V,1,:,V,2,_.,【解】,设三棱柱的高为,h,，,上、,下底的面积均为,S,，,体积为

11、,V,，,则,V,V,1,V,2,Sh,.,E,，,F,分别为,AB,，,AC,的中点，,1,S,AEF,S,.,4,1,1,1,7,V,1,h,(,S,S,S,S,),Sh,，,3,4,4,12,5,V,2,Sh,V,1,Sh,，,12,V,1,:,V,2,7:5.,例,4,、,(2012,江西,),如图，已知正四棱锥,S,ABCD,的所有棱长都为,1,，点,E,是侧棱,SC,上一动点，过点,E,垂直于,SC,的截面将正四,棱锥分成上、下两部分记,SE,x,(0,x,1),，,截面下面部分的体积为,V,(,x,),，则函数,y,V,(,x,),的图象大致为,(,),【解】,“分段”表示函数,

12、y,V,(,x,),，根据解析式确定图象,1,当,0,x,时，,截面为五边形，如图所示,2,由,SC,面,QEPMN,，且几何体为,Q,正四棱锥，棱长均为,1,，,P,2,可求得正四棱锥的高,h,，,N,2,O,取,MN,的中点,O,，易推出,M,OE,SA,，,MP,SA,，,NQ,SA,，,则,SQ,SP,AM,AN,2,x,，,四边形,OEQN,和,OEPM,为全等的直角梯形，,1,1,2,2,则,V,S,AMN,AM,AN,h,x,，,3,2,3,x,此时,V,(,x,),V,S,ABCD,V,S,AMN,V,S,EQNMP,2,2,2,1,2,x,(2,2,x,3,2,x,),x,6

13、,3,3,?,?,1,2,3,2,2,x,2,x,?,0,x,2,?,.,6,?,?,非一次函数形式，排除选项,C,，,D.,2,当,E,为,SC,中点时，,截面为三角形,EDB,，且,S,EDB,.,4,?,1,x,?,S,截面,?,1,?,2,2,当,x,1,时，,?,1,?,?,S,截面,2(1,x,),.,2,2,?,2,?,4,2,3,2,此时,V,(,x,),(1,x,),?,V,2(1,x,),.,3,当,x,1,时，,V,0,，则说明,V,(,x,),减小越来越慢，,排除选项,B.,例,5,、如图，正方体,ABCD,?,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,2,，动点,E,

14、，,F,在棱,A,1,B,1,上，动点,P,，,Q,分别在棱,AD,CD,上，若,EF,?,1,，,A,1,E,?,x,，,DQ,?,y,，,DP,?,z,，则四面体,EFPQ,的体积（,D,）,A,与,x,y,z,都有关,B,与,x,有关，与,y,，,z,无关,C,与,y,有关，与,x,，,z,无关,D,与,z,有关，与,x,，,y,无关,与,Q,点的位置无关即与,x,，,【解】,易知三角形,EFQ,面积恒定，,y,无关，,P,到平面,EFQ,距离,与,z,有关所以四面体,EFPQ,的,体积与,z,有关，与,x,，,y,无关,.,例,6,、,四面体,ABCD,中，,AD,与,BC,互相垂直，

15、,AD,2,BC,4,，且,AB,BD,AC,CD,2,14,，,则四面体,ABCD,的体积的最大值,是,(,),A,4,B,2,10,C,5,D.,30,【解】,画出图形如下，作,BE,AD,于,E,，,连接,CE,.,结合,BC,AD,，,BC,BE,B,，,得,AD,平面,BCE,.,所以,CE,AD,.,易知,BE,CE,，,所以四面体,ABCD,的体积为,1,V,S,BCE,AD,3,1,1,2,2,2,BE,1,4,3,2,4,2,BE,1.,3,D,4,C,B,2,E,A,例,6,、,四面体,ABCD,中，,AD,与,BC,互相垂直，,AD,2,BC,4,，且,AB,BD,AC,CD,2,14,，,则四面体,ABCD,的体积的最大值,是,(,),A,4,B,2,10,C,5,D.,30,在,ABD,中，,AB,BD,2,14,AD,4,，,所以,AD,边上的高,BE,等于以,AD,为焦点，,D,长轴为,2,14,的,椭圆,上的点到,x,轴的距离，,其最大值刚好是点,B,在短轴端点的时候得到，,4,2,2,2,2,即,BE,a,c,?,14,?,2,10,C,B,2,4,4,2,2