用样本的数据特征估计总体的数据征改后)

1、第二章：统,计,2.2.2,用样本的数字特征,估计总体的数字特征,知识回顾,【背景材料】,在第,29,届北京奥运会上中国体,育代表团取得了辉煌的成绩，其中射箭选手,张娟娟勇夺中国射箭史上第一枚奥运金牌,.,我们随机抽取了某射箭选手在北京奥运会上,某,10,箭的比赛成绩如下：,10,，,8,，,9,，,8,，,9,，,9,，,10,，,9,，,10, 9.,众数、中位数、平均数,知识回顾,众数、中位数和平均数的含义,:,众,数：,样本数据中出现次数最多的数；,中位数：,将样本数据按大小顺序排列，,位于正中间的数；,平均数：,样本数据的总和除以样本容量,.,10,8,，,，,8,，,8,，,9,

2、9,9, 8,，,，,9,，,9,，,9,9,9, 10,，,10,，,，,9,10,，,10,，,10.,，,9.,绘制一个组距为,1,的频率分布直方图,（,1,）计算极差,频率,/,组距,（,2,）决定组数与组距,（,3,）决定分点,（,4,）列频率分布表,环数,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,0,7.5,8.5,9.5,10.5,（,5,）绘制频率分布直方图,问题提出,众数、中位数和平均数是用样本,估计总体最常用的三种数字特征,.,问题提出,对一个未知总体，我们常通过图、表,提供的信息，用样本的频率分布估计,总体的分布,.,问题提出,如何根据样本的频率分布直方图，,估计总体的众数

3、、中位数和平均数，,就成为一个需要研究的课题,.,探究新知,1,众数、中位数和平均数的数值估计,8,，,8,，,9, 9,，,9,，,9, 9,，,10,，,10,，,10.,频率,/,组距,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,0,环数,7.5,8.5,9.5,10.5,众数估计,频率,/,组距,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,0,中点,环数,7.5,8.5,9.5,10.5,众数为,9,探求规律,在样本频率分布直方图中，取哪个数据,作为总体的众数的估计值比较合理？,频率组距,取最高矩形下,端中点的横坐,标作为众数,.,O,中位数的估计,面积平分,线,频率,/,组距,0.5,0.4

4、,0.3,0.2,0.1,0,0.3,8.5,+,=,9.1,0.5,环数,7.5,8.5,9.5,10.5,中位数为,9.1,探求规律,在样本频率分布直方图中，取哪,个数据作为总体的中位数的估计值比,较合理？,面积平分线,频率组距,O,直方图面积竖直平分线与横轴交点的横坐标,.,平均数的估计,频率,/,组距,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,0,0.2,0.5,0.3,环数,7.5,8.5,9.5,10.5,8,0.2,9,0.5,10,0.3=9.1,10,?,8,?,9,?,8,?,9,?,9,?,10,平均数为,?,9,?,10,?,9,9.1,x,?,8,10,10,9,2,3

5、,5,10,，,8,8, ,，,9, 8,9,，,9,，,9, 10,，,9,，,10,，,9., ,10,x,10,10,10,探求规律,如何根据样本频率分布直方,图估计总体的平均数？,频率组距,s,4,s,5,s,6,s,1,O,s,2,s,3,x,=,a,1,s,1,+a,2,s,2,+a,3,s,3,+,a,4,s,4,+a,5,s,5,+a,6,s,6,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,每个小矩形的面积与小矩形底边中点的,横坐标的乘积之和,.,思考讨论,原始射箭成绩样本数据的众数是,9,，,中位数是,9,，平均数是,9.1,，这与我们根,据频率分布直方图得出的相应数据稍

6、有,偏差，你能解释一下原因吗？,(1),频率分布直方图损失了一些样本数据，,得到的众数、中位数和平均数是一个估,计值，且所得估值与数据分组有关,.,(2),由不同的样本数据得到的众数、中位,数和平均数，也会有偏差,.,随堂练习,某市政府通过抽样调查，获得了,100,位居,民某年的月均用水量（单位：,t,）的频率分布,直方图如下，图中从左至右九个小矩形的面,积分别是,0.04,，,0.08,，,0.15,，,0.22,，,0.25,，,0.14,，,0.06,，,0.04,，,0.02,.,由此估计该市居民,频率,月均用水量的众数、,组距,0.5,中位数和平均数分别,0.4,是多少？,0.3,0

7、.2,0.1,O,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,月均用水量,/t,面积平分线,平均数为,2.02,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,O,频率,组距,各小矩形面积,:,0.04,，,0.08,，,0.15,，,0.22,，,0.25,，,0.14,，,0.06,，,0.04,，,0.02.,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,月均用水量,/t,0.25,0.04,0.75,0.08,1.25,0.15,1.75,0.22,2.25,0.25,中位数是,众数是,2.75,0.14,3.25,0.06,3.75,0.04,2.02,2.25,4.2

8、5,0.02,2.02.,知识小结,1.,根据样本频率分布直方图，可以估,计总体的众数、中位数和平均数,.,众数,最高矩形下端中点的横坐标,直方图面积竖直平分线与横轴交点,中位数,的横坐标,每个小矩形的面积与小矩形底边中,平均数,点的横坐标的乘积之和,2.,用样本的众数、中位数和平均数来,估计总体的数字特征，各有优点和缺点,.,优点,众数和,容易计算，不受,中位数,少数几个极端值,的影响,.,代表了样本数据,平均数,更多的信息,.,缺点,只能表达样本,数据中的少量,信息,.,受极端数据的,影响教大,.,知识探究,2,：标准差,x,甲,?,7,，,x,乙,?,7,在一次射击选拔赛中，甲、乙两,名

9、运动员各射击,10,次，每次命中的环数,如下：,甲：,7 8 7 9 5 4 9 10 7 4,乙：,9 5 7 8 7 6 8 6 7 7,甲、乙两人本次射击的平均成绩分,别为多少环？哪一个运动员成绩比较稳,定,?,x,甲,?,7,，,x,乙,?,7,知识探究,甲、乙两人射击的平均成绩相等，画出两人,成绩的频率分布条形图如下,:,频率,0.4,0.3,0.2,0.1,O,（甲）,0.4,0.3,0.2,0.1,O,频率,（乙）,环数,4,5,6,7,8,9,10,4,5,6,7,8,9,10,环数,甲的成绩比较分散，极差较大，乙的,成绩相对集中，比较稳定,.,知识探究,对于样本数据,x,1,

10、，,x,2,，,x,n,，,设想通过各数据到其平均数的平均距,离来反映样本数据的分散程度，那么,这个平均距离如何计算？,|,x,1,-,x,|,+,|,x,2,-,x,|,+,L,+,|,x,n,-,x,|,n,知识探究,最常用的统计量是,标准差,，一般用,s,表示,.,假设样本数据,x,1,，,x,2,，,x,n,的平均数为,则标准差的计算公式是：,x,，,1,2,2,2,s,?,(,x,1,?,x,),?,(,x,2,?,x,),?,.,?,(,x,n,?,x,),n,计算甲、乙两名运动员的射击成绩的,标准差，比较其射击水平的稳定性,.,甲：,7 8 7 9 5 4 9 10 7 4,乙：

11、,9 5 7 8 7 6 8 6 7 7,s,甲,=2,，,s,乙,=1.095.,知识探究,注意,:,(1),标准差越大离散程度越大，数据较分,散；标准差越小离散程度越小，数据,较集中在平均数周围,.,(2),标准差为,0,的样本数据都相等,.,知识补充,方差,:,标准差的平方就是方差,1,2,2,2,s,?,(,x,1,?,x,),?,(,x,2,?,x,),?,.,?,(,x,n,?,x,),n,2,其中样本数据,x,1,，,x,2,，,x,n,的平均数为,x,知识补充,方差与标准差都是用来描述一组数据,波动情况的特征数,.,在实际应用中一般多,采用标准差,.,例题分析,例,1,画出下列

12、四组样本数据的条形图，,说明他们的异同点,.,(1),，；,(2),，；,频率,1.0,0.8,0.6,0.4,0.2,O,x,=,5,s,=,0,1.0,0.8,0.6,0.4,0.2,频率,x,=,5,s,=,0.82,1,2,3,4,5,6,7,8,（,1,）,O,1,2,3,4,5,6,7,8,（,2,）,(3),，；,(4),，,.,频率,频率,x,=,5,1.0,0.8,0.6,0.4,0.2,x,=,5,1.0,0.8,0.6,0.4,0.2,s,=,1.49,s,=,2.83,O,1,2,3,4,5,6,7,8,（,3,）,O,1,2,3,4,5,6,7,8,（,4,）,例,2

13、,甲、乙两人同时生产内径为,25.40mm,的一种,零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们,生产的零件中各随机抽取,20,件，量得其内径尺寸,如下（单位：,mm,）：,甲,：,25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42,25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40,25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39,乙：,25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49,25.49 26.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32,25.

14、47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48,从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量,较高？,典例分析,生产质量可以从总体的,平均数与标准,差,两个角度来衡量,.,用样本的平均数与标,准差,估计总体的平均数与标准差,.,x,甲,?,25,.,401,x,乙,?,25,.,406,甲生产的零件内径更接近内径标准，且,稳定程度较高，故甲生产的零件质量较高,.,s,甲,?,0,.,037,s,乙,?,0,.,068,小结作业,1.,对,同一个总体，可以抽取不同的样本,，,相应的平均数与标准差都会发生改变,.,如,果样本的代表性差，则对总体所作的估,计就会产生偏差；如果样本没有代

15、表性，,则对总体作出错误估计的可能性就非常,大，由此可见,抽样方法的重要性,.,2.,在抽样过程中，抽取的样本是具有随,机性的，如从一个包含,6,个个体的总体,中抽取一个容量为,3,的样本就有,20,中可,能抽样，因此样本的数字特征也有随,机性,.,用样本的数字特征估计总体的数字特,征，是一种统计思想，没有惟一答案,.,3.,在实际应用中，调查统计是一个探,究性学习过程，需要做一系列工作，,我们可以把学到的知识应用到自主研,究性课题中去,.,知识探求,众数、中位数和平均数的特征分析,【背景材料】,一个企业中，绝大多数是一线工人，,他们的年收入可能是两万元左右，另外有一些经,理层次的人，年收入可

16、以达到几十万元,.,这个企业,每年都要到人力市场去招聘工人，应聘者可能会,问及企业员工的年“收入水平”问题,.,问题,1,：,假若你是老板，你对企业员工的年“收入,水平”会怎样回答？,问题,2,：,从实际情况来看，你认为用哪种数字特征,来反映该企业员工的年“收入水平”相对合理些？,问题,3,：,如果该企业员工年收入是,2.5,万元的人数最,多，你认为一个新来的打工仔的年收入可能会是怎,样？,1.,企业员工年收入的平均数会比中位数、,众数大得多，老板可能以企业员工年收入的,平均数来回答“收入水平”,.,应聘者可能会将,老板所说的“收入水平”理解成众数或中位,数，从而产生误解,.,2.,中位数一般

17、不受少数几个极端数据（即,排序靠前或靠后的数据）的影响，能大致反,映一般员工的收入水平,.,3.,众数虽然是“中心值”，但它也不受少,数极端值的影响，新来的打工仔的年收入可,能是一个比较小的极端值,.,随堂练习,1.,假设你是一名交通部门的负责人，你,1.,打算向市长报告国家对本市,26,个公路项目投,资的平均资金数额，其中一条新公路的建设,投资为,2000,万元，另外,25,个项目的投资是,20,100,万元,.,该,26,个公路项目的投资金额中，,中位数是,25,万元，,平均数是,100,万元，,众数,是,20,万元,.,你会选择哪一种数字特征来表示,国家对每一个项目投资的“平均”金额？你

18、,选择这种数字特征的缺点是什么？,众,数,(20,万元,),：,能反映部分项目的投资金,额是,20,万元，但不能反映极端数据,2000,万元，,又,20,万元的数量相对较小，会产生项目平均,投资金额不大的误解,.,中位数,(25,万元,),：,能反映部分项目的投资金,额大都在,25,万元附近，但不能反映极端数据,2000,万元对平均投资金额的影响，所提供的,信息较小,.,平均数,(100,万元,),：,能反映所有项目的信息，,但由于受到极端数据,2000,万元的影响，大多,数项目投资金额都与平均数相差比较大,.,2.,以往招生统计显示，某所大学录取,的新生高考总分的中位数基本稳定在,550,分，若某同学今年高考得了,520,分，,他想报考这所大学还需收集哪些信息？,要点：（,1,）查往年录取的新生的平均分数,.,若平均数小于中位数很多，说明最低录取,线较低，可以报考；,（,2,）查往年录取的新生高考总分的标准差,.,若标准差较大，说明新生的录取分数较分,散，最低录取线可能较低，可以考虑报考,.,3.,有,20,种不同的零食，它们的热量含,量如下：,110 120 123 165 432 190,174 235 42