大学物理振动和波及热学：2谐振子的阻尼振动

1、目 录,2 谐振子的阻尼振动,无阻尼的自由振动,谐振子的阻尼振动,3 谐振子的受迫振动 共振,谐振子的受迫振动,共振,作业：6-7, 6-8,6-9（旧版） 6-13，6-14，6-15（新版,2,2 谐振子的阻尼振动,2-2 谐振子的阻尼振动,2-1 无阻尼的自由振动,振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比， 与其方向相反,弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程,3,称 为振动系统的固有角频率,称 为阻尼系数,令,1）阻尼较小时， 此方程的解,这种情况称为欠阻尼,阻力使周期增大,4,由初始条件决定A和初相位 ,设,即有,5,2）阻尼较大时， 方程的解,其中 是积分 常数，由初始条件

2、来决定，这种情况 称为过阻尼,无振动发生,6,称之为临界阻尼情况。它是振动系统 刚刚不能作准周期振动，而很快回到 平衡位置的情况，应用在天平调衡中,是由初始条件 决定的积分常数,3）如果 方程的解,是从有周期性因子 到无周期性的临界点,7,3-1 谐振子的受迫振动,3 谐振子的受迫振动 共振,设强迫力,阻尼力,是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。 由微分方程理论,非齐次微分方程的通解= 齐次微分方程的解+非齐次的一个特解,8,其解为,经过足够长的时间，称为定态解,该等幅振动的角频率就是强迫力的频率,稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为,9,求振幅对频率的极值，得出,共振时强迫力的角频

3、率,共振的振幅,振幅有极大值,3-2 共振,代入,与强迫力的相位差,10,4 简谐振动的合成,4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成,4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成,4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成,本讲提纲,作业：6-10， 6-11 , 6-12（旧版） 6-16，6-17，6-18（新版,4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成,11,代数方法：设两个振动具有相同频率， 同一直线上运动，有不同的振幅和初相位,4 简谐振动的合成,4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成,结论,仍然是同频率 的简谐振动,合振幅,12,几何方法,13,讨论一,合振幅最大,当 称为干涉相长,14,

4、讨论二,当 时， 称为干涉相消,讨论三,一般情况,15,4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成,利用三角函数关系式,为了简单起见，先讨论两个振幅相同， 初相位也相同，在同方向上以不同频 率振动的合成。其振动表达式分别为,16,合成振动表达式,当 都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分， 合成振动是以 为角频率的谐振动,其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种 合振动忽强忽弱的现象称为拍,17,单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频,显然，拍频是振动 的频率的两倍。 即拍频为,18,4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成,设一个质点同时参与了两个

5、振动方向相互 垂直的同频率简谐振动，即,19,上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定,质点的运动方向与 有关。当 时， 质点沿顺时针方向运动；当 时， 质点沿逆时针方向运动,当 时，正椭圆退化为圆,20,讨论1,所以是在 直线上的运动,21,讨论2,所以是在 直线上的振动,讨论3,所以是在X轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的椭圆方程，且顺时针旋转,22,质点的轨道是圆。 X和Y方向的相位差决定旋转方向,讨论5,讨论4,所以是在X轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的椭圆方程，且逆时针旋转,23,讨论6,则为任一椭圆方程,综上所述：两个频率相同的互相 垂直的简谐振动合成后，合振动 在一直线上或者在椭圆上进行 (直线是退化了的椭圆)当两个 分振动的振幅相等时，椭圆轨 道就成为圆,24,4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成,一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线， 即合成运动不是周期性的运动。 下面就两种情况讨论,视为同频率的合成，不 过两个振动的相位差在缓慢地变化， 所以质点运动的轨道将不断地从下图 所示图形依次的循环变化,当 时是顺时针转； 时是逆时针转,25,26,2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比， 合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有 周期。这种运动轨迹的图形 称为李萨如图形,用李