数学奥林匹克初中训练题13(含答案

1、数学奥林匹克初中训练题13这是我辛苦搜集来奉献给大家的第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.正整数1，2，2 008中，能表示为形如 (m、nN+)的数的个数是( ).(A)2 008 (B)2 006 (C)2 007 (D)2 0042.已知a、b、c满足|2a-4|+|b+2|+ +a2+c2=2+2ac.则a-b+c的值为( ).(A)4 (B)6 (C)8 (D)4或83.如图，在RtABC中，BAC=90，AB=4，BC=12，ADBC于点D，ABC的平分线分别交C、AD于点E、F.过F作GBC交AC于点G.则FG的长为( ). (A)10 (B)6 (C)8 (D)94.设

2、m为整数.若关于x的方程mx2+(2-2m)x+m-4=0有整数解，则m的可能值有( )个.(A)1 (B)2 (C)3 (D)45.如图，五边形ABCDE中，A=120，B=E=90，AB=BC=1，AE=DE=2.在BC、DE上分别找一点M、N，使得AMN的周长最小.则AMN的最小周长为( ).(A)2 (B)2 (C)4 (D)56.已知2n(nN+)能整除2 0072 048-1.则n的最大值是( ). (A)12 (B)13 (C)14 (D)15二、填空题(每小题7分，共28分)1.已知x为实数， - =54.则28 +27 =. 2.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，BAD

3、=BCD=60，CBD= 55，ADB=50.则AOB的度数为 . 3.已知n为自然数，9n2-10n+2 009能表示为两个连续自然数之积.则n的最大值为 .4.如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=10 cm，l是过点O的铅直直线.现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M到l的距离始终相等.1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程)是 cm.第二试一、(20分)设k为常数，关于x的方程x2-2x+=3-2k有四个不同的实数根.求k的取值范围.二、(25分)已知O是ABC的外心，BAC=45，延长

4、BC至D，使CD= BC，ADOC.求ABC的度数. 三、(25分)过年时，祖母给三个孙子压岁钱，总额400元.共有50元、20元、10元三种面额的纸币各若干张，供三个孙子选择，但每人只能拿同一种面额的钱，其中一人所拿钱的张数恰好等于另两人所拿钱的张数之积.问有多少种选择面额及张数的方式?数学奥林匹克初中训练题13参考答案第一试 一、1.C.若=1，整理得(m+1)(n-1)=0.解得m=-1或n=1.故当n=1，m1时， =1.若=2，整理得(m+2)(n-2)=-3=3(-1).解得m=1，n=1.但mn，于是， 2.所以，2不能表示为形如的数.若=a(aZ，a2)，即mn-am+an-1

5、=0.故(m+a)(n-a)=1-a2=(a2-1)(-1).因此，m+a=a2-1，n-a=-1，即m=a2-a-1，n=a-1.显然，mn.当m=a2-a-1，n=a-1时， =a.2.D.当b=0时，原等式化为|2a-4|+(a-c)2=0.解得a=c=2.所以，a-b+c=4.当b0时，b20，a3. 故2a-42.原等式化为2a-4+|b+2|+ +(a-c)2=2，即 |b+2|+ +(a-c)2=6-2a.故6-2a0，即a3.所以，a=3.则|b+2|+(3-c)2=0.解得b=-2，c=3.所以，a-b+c=3-(-2)+3=8.3.C.在RtABC中，由射影定理得AB2=B

6、DBC.所以，BD= 4/3.故DC=BC-BD=32/3.由BF是ABC的平分线得AF/FD=AB/BD=3.则AF/AD= =34.因为FGCD，所以，FG/DC=AF/AD.故FG=8.4.B.原方程化为m(x-1)2=4-2x.显然，x1.则m(x-1)= =-2+.已知m、x均为整数，则为整数.故x-1=1，2，即x=2，0，3，-1.相应地，m的值分别为0，4，-12，32.所以，m的值为0或4.5.B.如图，延长AB至P，使PB=AB;延长AE至Q，使EQ=AE.联结PQ分别交BC、DE于点M、N.则AMN的周长最小，最小周长就是线段PQ的长.过P作PFAE于F.易知PAF=60

7、，PF=AP= ，AF= AP=1.又AQ=2AE=4，则在RtPQF中，由勾股定理得PQ=2 .在APQ中，由余弦定理得cosAPQ=2 /7.故BM0，2=(-2)2-41(-k-3)0.解得-4k1.由y0，知k0或3.又因方程与方程的根不同，所以，-kk+3，即k-3/2.故k的取值范围是-4k1且k0和-3/2.二、如图，联结OA、OB，延长BO交AD于点E. 由BAC=45 BOC=90 OBC=OCB=45.由ADOC OEAD，BO/OE=BC/CD=2 ABE= AOE=30 ABC=30+45=75.记AD与O的另一交点为A1，联结A1B、A1C.则有BA1C=BAC=45

8、.所以，A1BC可为已知ABC的另一种情形.又ACB=180-BAC-ABC=180-45-75=60，D=OCB=45，故 A1BC=CAD=ACB-D=15.因此，ABC的度数为75或15.三、设三人所拿钱的张数分别为xy、x、y，面额分别为a元、b元、c元，x1，y1.则axy+bx+cy=400.(1)当a=b=c，即三人所选面额相同时，则xy+x+y=400/a，即 (x+1)(y+1)=400/a+1.(i)若a=50，则(x+1)(y+1)=9=33.解得x=2，y=2.所以，三人中，每人选50元面额的张数分别为2，2，4.此时，有一种选择方式.(ii)若a=20，则(x+1)(

9、y+1)=21=37.解得x=2，y=6.所以，三人选择20元有一种选择方式.(iii)若a=10，则(x+1)(y+1)=41.此时，x、y无正整数解.(2)当a、b、c中有两个值相等时，根据选择无顺序性，可分为a=bc，b=ca两种情形.当a=bc时，axy+ax+cy=400，即 (ax+c)(y+1)=400+c(y+12).(i)若a=50，c=20，则(50x+20)(y+1)=420，即 (5x+2)(y+1)=42=76. 解得x=1，y=5.此时，有一种选择方式.(ii)若a=50，c=10，则(50x+10)(y+1)=410，即 (5x+1)(y+1)=41(质数).上式无正整数解.(iii)若a=20，c=50，则(20x+50)(y+1)=450，即 (2x+5)(y+1)=45=95=153.解得x=2，y=4或x=5，y=2.所以，有两种选择面额及张数方式.同理可得:(iv)若a=20，c=10，无正整数解. (v)若a=10，c=50，有两种选择面额及张数方式.(vi)若a=