文科圆锥曲线大题复习

1、 实用文档 高三数学圆锥曲线专题 一知识要点y?y?12)x?xk?tan(? 1、直线的斜率公式：（为直线的倾斜角） 21x?x12 ）斜截式1）点斜式（2两种常用的直线方程：（ ，其判断方法有：2、直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种 几何法（常用方法）则：,圆的半径为rd 若圆心到直线的距离为?rd?dr?r?d? 直线与圆相切 直线与圆相离直线与圆相交 代数法 由直线方程与圆的方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则： ?0?0?0 直线与圆相交 直线与圆相离 直线与圆相切 圆的弦长3、22d?l?2r,d,圆的半径为r弦长是l，则.若圆心到弦的距离为 4、圆锥曲线的定义（包

2、括长轴，短轴，实轴，虚轴，离心率，双曲线的渐近线等) （1）椭圆： （2）双曲线： （3）抛物线： 2222yxyx00?1?1),yP(x,P(xy?0?ba?；（）5、点的关系：（1）和椭圆点在椭圆外（2） 00002222abab2222xyxy0000?1)(x,yP(x,y)P? 点在椭圆内；（3在椭圆上）点1 00002222abab 6、直线与圆锥曲线的位置关系： 由直线方程与圆锥曲线联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则： ?0?0?0直线与椭圆相交；（1）相交：直线与双曲线相交， 但直线与双曲线相交不一定有，?0是直线与双曲线相交的充当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲

3、线相交且只有一个交点，故?0?0?，当直线与直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有分条件，但不是必要条件；?0也仅是直线与抛物线相交的充分条抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故件，但不是必要条件。 ?0?0?0直线与抛物线相切；（2直线与双曲线相切； ）相切：直线与椭圆相切；?0?0?0直线与抛物线相离。：）（3相离 直线与双曲线相离；直线与椭圆相离； 提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双 标准文案 实用文档 直线与抛物线,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交 也只有一

4、个交点相交, ABxx,b?y?kxBAAB则的横坐标，7、弦长公式：若直线、分别为，且与圆锥曲线相交于两点211 2x?k?x1 ABy,yAByy1?BA所在直线方分别为的纵坐标，则、，若弦，若2121212k 2 1?ky?yABb?xky 程设为，则21 二例题分析 题型1：圆锥曲线定义的问题 22y?xxOyC与直线已知圆心在第二象限，的圆年广东高考）例题1.（07在平面直角坐标系半径为中，22yx?1?O10C，椭圆与圆 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为相切于坐标原点 2a9C的方程； 1）求圆（FQQCOF的长若存在，上是否存在异于原点的点，使的距离等于线段（2）试探究圆到椭圆

5、右焦点Q的坐标；若不存在，请说明理由请求出点 2222CCl1?(y?:C(x?4)y?:?1Cx2)对变式1：（,，圆，圆2012年佛山一模）已知圆关于直线2121称. l的方程；）求直线 （1 QQQl42,0)(2BA(?22,0)，点到点到使点的距离减去点的距离的差为）（2直线上是否存在点，Q点坐标，如果不存在说明理由. 如果存在求出 ?FC2,0)F(?0,2，点变式2，的中心在坐标原点，两个焦点分别为年广州一模）已知椭圆2013：（211 标准文案实用文档 2CCB,CB,C3)A(2,LAy?4xC:处的的直线交于上，过点与抛物线在点两点，抛物线在椭圆212l,lPll. 切线分

6、别为且交于点与， 2112C的方程；求椭圆 (1) 1PF?PF?AF?AFPPP ? 若存在，是否存在满足的指出这样的点的点有几个(2) （不必求出点2211坐标）； 若不存在，说明理由. 题型2:圆锥曲线的定值问题 22yx30)b?1(a?C:?(0,1)，且离心率为.过点 已知椭圆例题2：（2011年佛山二模） 22ab2C的方程；）求椭圆 （1 x22:x?lCCA,A,BBPD的动是椭圆轴交于点为椭圆，点的左右顶点，直线与（2）上异于AP,BPlE,F两点分别交直线点，直线于. |DE|?|DF|CP恒为定值上运动时，证明：当点在椭圆. 22yx?1(a?b?0)P到两个焦点的距离

7、的和为年佛山一模）椭圆6：（2011上任一点，焦距为1变式 22ab 42A,B分别是椭圆的左右顶点，. 标准文案实用文档 （）求椭圆的标准方程； k,kkgkBA,PPBPA为定值；与，证明：与的斜率分别为均不重合，设直线（）若 2121 题型3：直线与圆的位置关系问题 l:PF(1,0)P1?x?的轨迹为的距离相等，记点与点（2011年广州一模）动点的距离和它到直线3.例题CCCCy|MN|?4N,MT. 与曲线两点，且圆的圆心轴交于是曲线圆上的动点, 2211C的方程； （1）求曲线 1?(aa,0A?C)lTA1a?的位置关系与圆2试判断直线,若点 （2）设点到点,的最短距离为, 2

8、并说明理由. A(?2,0)C(m,n)(2,0)B2013年佛山一模）已知， ，（1变式： n?3?1ABCm?的外接圆的方程；，求）若1（， 标准文案 实用文档 COACR,BA2?xBRAB的过点交直线（异于点，线段（2）若以线段于点为直径的圆），直线OCDD 中点为与圆，试判断直线的位置关系，并证明你的结论 4：直线与圆锥曲线位置关系问题题型22yx0)?a?1(?bC:?xOy的左焦点为中，已知椭圆2012年高考）在平面直角坐标系（例题4. 122baC1,0)F(?(0,1)P 在上，且点11C 求椭圆的方程；（1）12Cllx?C:y4 （2与椭圆的方程设直线和抛物线相切，求直线

9、） 12 22yx3)0?b?1 (a，过坐标原点：11变式1（惠州二模）已知椭圆的离心率为OC 22ba21，相交于、 与且斜率为的直线Cl BA102|AB|? 2a、的值； 求b 标准文案实用文档 22m的取值范围 与椭圆和直线若动圆都没有公共点，试求1y)?(x?m Cl 题型5：圆锥曲线的相关最值（范围）问题 ?0?cF0,cl:x?y?2?0C的的顶点为原点，其焦点5.例题（2013年广东高考）已知抛物线到直线 32PA,PBA,BClPP为切点上的点，过点，其中设作抛物线为直线距离为 的两条切线2C的方程；求抛物线 (1) ?yxP,lAB的方程；上的定点时，求直线当点(2) 为

10、直线 00 AF?BFlP的最小值在直线上移动时，求当点(3) ? 2?2x2,0FlPP的距离之比到定直线到定点的距离与点：变式1（2010年广州一模）已知动点 2 为 2CP的方程；）求动点 的轨迹（1uuuuruuurEMgFN?0MN ONlFME的最关于原点上的两个点，点、）设（2是直线与点对称，若，求 标准文案 实用文档 小值 21)?P(1,Px?T:y的切线，年佛山一模）在平面直角坐标系中，已知点，过点作抛物线（变式2：20100xx?)y(x,y)N(x,M ）、其切点分别为（其中212112xx 与的值；（）求21EMNPE 为圆心的圆相切，求圆与直线（）若以点的方程；BD

11、,AC(0,0)OABCDE .作圆面积的最大值的两条互相垂直的弦（）过原点，求四边形 6题型：综合性问题2y2?x?1CBAAB已知椭圆2012的左、右两个顶点分别为年广州一模）、例题曲线6.是以（、两 4 5CTPAP 与椭圆相交于另一点在第一象限且在曲线点为顶点，离心率为的双曲线设点上，直线C （1）求曲线的方程；xx1xx?PT 、的横坐标分别为（2）设点；、，证明：21212215PA?PB?SSOPOB?TAB?S?S 且（其中为坐标原点）的面积分别为，与）（3设，求与1221 的取值范围 参考答案22?8y?n?xm?已知该圆0），则该圆的方程为n1例1、解：（）设圆心坐标为（m

12、，）（n?m22与直线yx 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2 m?n4， 即 标准文案 实用文档 22 n 8 又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入，得m 联立方程和组成方程组解得2?m?22?82?yx?2? ，故圆的方程为?2n?22yx 1?a2，则椭圆的方程为255 （2，a） 925 9?25OF4，那么 4，右焦点为（c其焦距4，0） OF的长度F4，我们可以转化为探的距离等于要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点2?28?yx?4 ）所求的圆的交点数与（求以右焦点F为顶点，半径为4的圆1124，y 通过联立两圆的方程解得x 55124 OF 的长的距离等于

13、），使得该点到右焦点F即存在异于原点的点Q（， 55 CCl对称，, 关于直线1、解：（1）因为圆变式21CCCC(0,(4,0)2)， 圆 的圆心 坐标为，圆的圆心2坐标为分 2211CCl的中垂线， 显然直线是线段 3分 21y?y0?2121?kCCCC2,1)(， ， 的斜率是 线段 中点坐标是 5分 2211x?x4?02211(x?1?2)y?y?2x?3l. 所以直线的方程是 ，即 6分 kQ点存在， （2）假设这样的 QQ42,0)(2BA(?22,0)， 点的距离减去因为点到点的距离的差为点到 Q42,0)(22,0)A(?B2的双曲线的右支上，和 所以为焦点，实轴长为 点在

14、以22yx?1(x?2)Q点在曲线即10分 上， 44y?2x?3?QQl点的坐标是方程组的解， 又点在直线 上， 12分 22?yx?1? ?44220?133412?013x?3x12? 消元得，方程组无解， 标准文案 实用文档 QP 14分 所以点 的轨迹上是不存在满足条件的点 . 22yx?1?C0b?a?, ：设椭圆的方程为变式2、(1) 解法1 122ba22?322?16,a?1,? 22ba 2分 解得: 依题意 : ?212.b?224.a?b?22yx1?C的方程为椭圆3分 . 1121622yx?1?C0?a?b 的方程为：设椭圆，解法2 122ba8AF?a?AF?24

15、a? 分 根据椭圆的定义得 1 ，即 ， 2122212c?b?a?2?c 2分 ， . 22yx1?C的方程为 椭圆 3分 . 112161112222)x,xB(x,)Cx()x?x(x?x,(BC? ，则，,解法(2)1：设点 1212122144412)x,3?(2?xBA， 114A,B,C三点共线, uuuruuurBC/BA. 4分 ?11?222x2?x?x3?x?x?x, ? 11122144?(x?x)?xx?122化简得： 5分 . 221111?22y?x4xy?,x?y. 由 ,即 6分 得 42x121Clyx)?x?(x?B的方程为在点 抛物线处的切线， 1121

16、24x121xx?y. 即 7分 124 标准文案实用文档 x122Clx?y?xC . 同理，抛物线 在点处的切线 的方程为 8分 22224xx112221x?xx?x)P(x,y 设点，由得：， 2124241x?x(x?x?x). 而 ，则 9分 212121xy?x， 代入得 10分 2142x?x?x4y?xx4x?4y?12P的轨迹方程为代入 ， 则得 ，即点 2112y?x?3. 11分 PF?PF?AF?AFCy?x?3PP上，在椭圆上，而点 ，则点 又在直线若1212112分 C(3,0)?3y?x, 内一点经过椭圆直线1C3x?y?交于两点. 直线 与椭圆 13分 1P(

17、x,y)y(x,B(x,y)C，, ，设点解法2：00211211?22yx?4x,xy?y. 得 由 4分,即 42x1lC(x?y?x)y?B，处的切线 抛物线的方程为在点 11122x121xy?xy?. 即 5分 1122x121x?yx?y?y . ， 11124x1P(x,y)lyy?x? 上, 点 在切线6 . 分 0000112x2x?y?y. 同理， 7分 2002x)y(x,),B(x,yCx?yy. 8分 的坐标都满足方程综合、得，点 2211002)y,(Bxxy,(C), 两点的直线是唯一的，经过2112 标准文案实用文档 xx?yy?L， 直线的方程为 9分 002

18、y?x?3)A(2,3L. 点 在直线 上， 10分 00y?x?3P. 点 的轨迹方程为 11分 PF?PF?AF?AFCy?x?3 P上，在椭圆12上，又在直线分 ，则点 若12112C(3,0)3x?y?, 经过椭圆内一点直线1C3?xy交于两点. 与椭圆 13分 直线1 PF?PF?AF?AFP有两个. 满足条件 14分 的点2121?32?kx?yLL ：显然直线的方程为的斜率存在，设直线，解法3?3,kx?2y?2x?4kx?8k?12?0y. 由消去 ，得 4分 ?2x?4y,?12k?4k,xx?8?x?xy,CxBx,y, 5分设 . ,则 2211212111?22yx?4

19、x,xy?y. ,即 得 6由分 42x1Cl(x?xy?y?)B，的方程为处的切线抛物线 在点 11212x121x?y?x?y. 即 7分 1122x11221xx?y?x?y. ， 111244x122x?xy?ClC的方程为同理分 ,得抛物线处的切线在点. 8 22242?x?xx12211x,xy?x?2k,? 1?422解得 由 ?xxx1?2221?2k?y?x?3.x,y? 24?2?4?3k?2Pk,2 分 10 . AFAF?PF?PF, 2121 标准文案实用文档 22yx?1C:P在椭圆 点 11分 上. 11612?2232k2k?1?. 121627k?12k?3?

20、0.(*) 12分化简得 ?20?228?7?123?4 13分 , 由 P 14分 有两个不等的实数根. 满足条件的点 有两个. 可得方程(*)AFAF?PF?PF?P 14分 有两个. 满足条件 的点 2121 1b? 1分，例2、解：（1）由题意可知， c3?， 2而分 a2222a?b?c. 且 3分 a?2， 解得 4分 2x2?1?y. 5分 所以，椭圆的方程为 4P(x,y)?2?x?2(2,0)B(?2,0),A， 6.（2）设分， 000 yy2(2 02)xy?(22x?yAP ，令直，则的方程为 2?xx?200|y| 0|DE|?(22?2)；即 8分 |x?2|0 y

21、y2)2?(2 022x?y?(x?2)0BP?y的方程为直线，则， ，令 2x?2?x00|y| 02)|DF|?(22? ； 即10分 |x?20224y4y|y|y| 0000|DE|?|DF|?(22?2)?(22?2)? 12分 222|?x?2|x|x?4|4?x00002x2220?y?14y?x?4而，代入上式，即 0004|DE|?|DF|?1|DE|?|DF|1. 14分， 所以 为定值 2a?6a?3， 解：1变式、（）由题意得， ， -1分 22242c?2c22b?a?c?1，又 标准文案实用文档 2x2?1?y； -3分 故椭圆的方程为 922xx2200?1y?y

22、?10)y?,y)(P(x(3,0)B3,0)A(?，则，即 （）设 0000099yy00?kk -4分 则 ， ， 213x?3x002x120)?x1?(92y1 0990?kk?即 ， 21222999x?x?9x?0001gkk? -8分 为定值 129 ? yx,1?xPFP, ,例3、(1)解法1: 设动点得的坐标为,依题意 2?2 1x?yx?1? 即 2分 , 2x?4y, 化简得: 2Cx4y? 曲线的方程为分. 41:l(1,0)F1P?x? 的距离相等，的距离和它到直线 解法2:由于动点与点(1,0)FPl. 的轨迹是以点直线为准线的抛物线为焦点,动点 根据抛物线的定义

23、可知, 2分 2Cx?4y 4分 曲线. 的方程为1 C)(x,yTr 的半径为,圆）解: 设点，的坐标为（22002xyC:?4T, 上的动点是抛物线 点12xy?40x?). (000 22? 0?ayAT?x 分 6 00 22x?42ax?ax? 000 2?44ax?a?2?. ?0 1?2aAT2ax? 2a?0?a2? 时,取得最小值为分 ,则当, 80 标准文案实用文档 2a?1?a?1, 依题意得 205?6a?a?, 两边平方得1a?a?5 10分舍去). ( 解得不合题意,或 23?a?2x?12x?4?y32y?. 即, 0000? C33,?2T. 的圆心的坐标为 圆

24、2Cy4MN|?|NM, 轴交于圆与两点，且 2 224?2r?x|MN|. 0 2134?x?r? . 12分0 d?x?1?4?13Tl, 到直线 点的距离0Cl相离. 14与圆分 直线2 220?Ey?Fyx?Dx ，1：设所求圆的方程为变式1、解：（1）法?4?2D?F?0?D?E?0,F?40?2D?F4?，由题意可得，解得 ? 1?3?D?3E?F?0?22224?x?y04?x?y?ABC? 分的外接圆方程为，即-6 331k?(?,)ACAC，直线的中点为法2：线段的斜率为 1223 13 y)?3(x?AC0?xAB的中垂线的方程为的中垂线方程为 ，线段线段 2222x?y?

25、4(0,0)ABCABC?2r?-6的外接圆方程为的外接圆圆心为，半径为分 2220)?0)(3?Q|OC|?(12|?|?|OB|OAOABC?2为半径为圆心，法3的外接圆是以：，而 的圆，224?xyABC? 分-6的外接圆方程为 3 ?kk?k?13?k?BCACAC?BC，即， ，直线：直线4法的斜率为的斜率为12123 标准文案实用文档 224?x?yABC?ABC?AB 的外接圆方程为为直径的圆，分的外接圆是以线段-622R4y?x?)(2,tAB （2）由题意可知以线段的坐标为为直径的圆的方程为，设点，uuuruuuruuuruuurAC/ARAC?(m?2,n)AR?(4,t)

26、R,C,A4n?t(m?2)， 三点共线，则，-8分，而4n4n2nRD(2,)(2,)t?，的坐标为-10分，点 ，点的坐标为 m?2m?2m?22n?n(m?2)n?2nmn 2m?2222k?n?4?m?n?4mCD的斜率为，而 ，直线 224?4?2mm?mmnmm?k?y?n?(x?m)mx?ny?4?0CD ，-12分，直线的方程为化简得， 2?nnn44?2?rdOOCDCD相切 -14圆心与圆到直线的距离分，所以直线 422n?m 例4、解：(1):依题意：c=1,1分 221?a?b 分,则：222yx 设椭圆方程为：3分1? 22b?1b将点坐标代入，解得：4分 )P(0,

27、121?b22 所以 2?1?1?a1?b故椭圆方程为：5分 2x21?y 2 y?kx?m6分（2）设所求切线的方程为： y?kx?m? ?2?x2?1?y? 2?消除y 2220?2(2m)2k)?1x?4kmx?(222?22m)4(2k1?)(?4km)?7分 1化简得： 22?1?m?2k8分 同理：联立直线方程和抛物线的方程得： y?kx?m? ?2y?4x? 标准文案 实用文档 得：消除y2220?4)kxxm?(2km 2220?4k?(2km?4)m 9分 2 化简得：?km1? 10分 240k?1?2k? 将代入解得：22122?k?k?舍去），故,或者,(kk?1 解得

28、： 222 分122时，m?1当k?时，m?2,当k?1222?xx?2或者yy 分故切线方程为：14 22 22yx1?1代入?y?x? ，得，消去变式1、解：（1）证明：将x 22ba2222220)?b(?b1)y?2baya( 3分 由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得2222422220)?b?)?4a?b?4b(?4ba(a?b1)(1?a 221a?b? 分5 所以 )yx,(x,y)，B(A 2）解：设（2112222)1?2bab(?y?y?，yy 7分 由，得 22112222baa?b?AF?2FB，得y?2y8分 因为 21222)?ba(2b12?y，yy?2yy?y

29、? 所以， 2212212222a?ba?b222b2)(1?ab2?2()y，得消去 22222a?ba?b2222b8)?1b(a?)(a? 分 化简，得 1122 ，是椭圆的一个焦点，则因Fc=1b=1 a 标准文案实用文档 9722?a?，b 分13 代入式，解得 22 22y22x?1 14分 所以，椭圆的方程为 97 0?c?232c?1?d（负根舍去）依题意1，解得 例5、【解析】（ 222?4yxC?；抛物线 的方程为P(x,y),yB(x,A(xy)，（2）设点， ,00221111?22yx4?x,y?x?y. 由, 即得ks5u 42x1(x?y?yx)CAPA，处的切线

30、抛物线 在点的方程为 112x121x?yxy. 即 1122x121xy?x?yy . ， 11124x1P(x,y)ly?x?y 上点, 在切线. 0001012x2x?y?y. 同理， 2002x)y,B(xA(x,y),x?y?y. 综合、得，点 的坐标都满足方程 2112002),yyA(x,),B(x 经过两点的直线是唯一的，2121xxx?2y?2y?0yy?xAB；直线的方程为 ，即 00002 AF?y?1,BF?y?1，（3 ）由抛物线的定义可知21? ?y?y?1yy?AF?BF1y?1?y 所以2121212?4xy?222x ，得联立，消去0?y2y?x?yy?000

31、xx?2y?2y?0?0022?y?y?x?2y,yy?y 0221001 标准文案实用文档 Qx?y?2?0 002?222 12y?y?y?2y?x?1=y?2?AF?BF? 000000291?2 +y?y?2y+5=2=2? 00022?19 时，当BFAF? ?y? 取得最小值为 022 ?yxP, ，变式1、（1）解：设点 ?22yx?2? 2? 依题意，有 222x?22yx?1 整理，得 4222yxC1?P的方程为的轨迹 所以动点 42OFE对称，与点 ）（2解：点关于原点? 2,0?E 点的坐标为 lNM 是直线、上的两个点，? yy?y2,M2yN22, （不妨设，）可设

32、2121uuuuruuurEMgFN?0， ? 0y?g32,y2, 2160?6?yy?y?即即 212y1y?yy?00?y由于 ，则 2211 66 2y?y?yy?26MN? 1211yy11 y?6y?6时，等号成立， 当且仅当21 MN26 故的最小值为 标准文案 实用文档 2?x?yx?y2 -1分可得，2、解析：（）由 变式21x?21T?2x0?1?x?2x1)(1,?PPM ，即直线，与曲线，相切，且过点 01111x?1 44?2? 21?x?2?x?1 -3分，或 ， 112 21?2x?x?1 -4分 同理可得： ，或 22 21?2x?x?1?xx? -5分 ， ，

33、 212122x?y?yxMN21121?x?2x?x?xx?xk 分，则直线，（）由（）知，,的斜率-6 211221x?x?xx21212)xx)(x?y?y?(x?Mx?y ，又的方程为：直线，11121122xx?x?(x?x)xy?x0?y?12x? 分-7，即21211141|?1?|2MN?r?EP 的半径，即分，点 到直线-8的距离即为圆 514?64162?r?4?4S?E 分 故圆 的面积为-9 55 1ABCD BgS?AC 的面积为（）四边形2ACEddEBDEE 到直线不妨设圆心，垂足为到直线的距离为的距离为；，垂足为；圆心2121 2222 ,d2r?AC?2r?d

34、,BD? 分 -10 则 2122222 OEEE2?(?1?0)?d?dOE?(1?0) .分 由于四边形且-11为矩形21211 2222 ?rddgBD?2rS?g?AC 所以21222b?ab?a2可得 由基本不等式22 222222222d?d?dd(r)?d)?2rS?(r?d)(?时等号成立. ，当且仅当-14分 2121125 例6、(1)解：依题意可得，A(1，0)、B(1，0)， 1分 22b?1y ，所以，即b=2.所以双曲设双曲线C的方程为，因为双曲线的离心率为 520)x?=1(b5? 2b12y线C的方程为. 3分 21=x? 4(2)证法1：设点P(x，y)，T(x，y)，(x0，y0，i=1，2)，直线AP的斜率为k(k0)，则直线AP的方i2112i 标准文案实用文档 程为y=k(x+1). 4分 y=k(x+1)?， 联立方程组 5分 2?y2x+=1? ?4224?k4?k2222 ，.所以x+k4=0，解得x=1或，整理，得(4+k)x+2k=x=x