概率论与数理统计期末考试试题及答案

1、概率论与数理统计期末考试试题（A） 专业、班级： 姓名： 学号： 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩 得 分 )分共18(每题3分 一、单项选择题1D 2A 3B 4A 5A 6B ?0,)( ).BP(ABA则以下说法正确的是适合、若事件(A)AB();互不相容互斥与?0);0P(B)P(A)B或(C)AB;同时出现是不可能事件与(D)P(A)?0,P(BA)?0.则 （1） X -1 0 1 2 X其概率分布为设随机变量）（2P 0.2 0.3 0.1 0.4 则（ ）。 ?X?1.5P (D) (A)0.6 (B) 1 (C) 0 3）（AA同时发生必导致

2、事件发生，则下列结论正确的是（ 与 ） 设事件A21P(A)?P(AA)P(A)?P(A)?） A（） （B112P(A)?P(A?A)P(A)?P(A)?）C（）（ D211 （4） ?3,1),YN(N(2,1),X且设随机变量?7,ZX2Y(Z,).则立令0,54).(C)30N);,(A)N05(B)(,);N(0,46); 1 2P(A)?1 2P(A)?1 2XY相互独与(D)N(2?X,?XX 的一个简单随机样本，其中设为正态总体,?2)(,N）（5n1,2未知，则（ ）是一个统计量。 nn?222?)?(XX? (A) (B)ii1?i?1i?X? (D) (C)?X ?22?

3、未知。统计假设设样本来自总体 X,X,X,?),(XN）6（n21? ） 则所用统计量为（ 为。H：?已知）（H：00001?X?X00?T?U (B) (A) ?nnS2nS)n?1(1?222?)(?X? (C) (D) ?i22?1?i 二、填空题(每空3分 共15分) ?x?x?0xe1.?2?)f(x 4. 3. 2. e3)9t(P(B)1? , ?0x0?P(A)?0,P(B)?0,P(AB)?P(A)P(BA)? 如果 ，则 . ）（1 设随机变量的分布函数为 X）（2 x?0,0, ? F(x)?xx?0.1?(1?x)e, ?则的密度函数 ， .?f()2P(x)?X?X

4、（3） ?,?,?,a2,3设的无偏估计量是总体分布中参数123123?,.a_时当也是的无偏估计量 X,X,?X是来自总体的，相互独立设总体和,且都服从 ),1N(0YXX）4（921X?X91?UY?YY, 是来自总体 样本，的样本，则统计量 Y91222Y?Y?91。 服从 分布（要求给出自由度） 6分) 设 (相互独立，求.、)BA88?P(P(A?B)?0A,B7P(A)?0. 三解： 0.88= )ABP(B)?B)?P(A)?PP(A? = (因为相互独立).2分 B,)A)?P(B?P(A)P(B)AP( = 3分 )P0.7?P(B)?0.7(B 则 .4分 6)?0.P(B

5、 )B)P(A)?P(AP(A)?P(AB)?P(P(A?B)? 6分 28?60.7?0.?0.70 6 分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻（T，各电梯在 四、运行的概率均为0.7，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。 解：用表示时刻运行的电梯数， 则 .2分 )b(4,0.7TXX? 所求概率 4分 0?PXP?X1?1004?1?7)C(1?0.(07 .6分 =0.9919 4 ?x?,x?0e分6 ，）设随机变量X的概率密度为 ?(x)f（五、?其它0,?求随机变量Y=2X+1的概率密度。 解：因为是单调可导的，故可用公式法计算 .1分 1y?2x? 当时， .2分

6、0?X1?Yy?11,x?x?得， 由 4分 12y?x?22y?11?y?1f()?22?从而的密度函数为 .5分 Y?y)(f?Y?0y?1?1y?1?ey?12?2? .6=分 ?y0?1? 8分 已知随机变量和的概率分布为 YX）六、（0101?1YX 11111PP 22442而且PXY?0?1. (1) 求随机变量和的联合分布; YX(2)判断与是否相互独立?YX ? 解：因为，所以0?XY0XY?10PP(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出 -1 0 1 Y X110 0 1 1 244 10 1 0 2 21 11 442 .4分 111? (2) 因为 ?Y?0?0?P

7、0X?0P,PX?0Y?224所以 与不相互独立 YX 8分 8分设二维随机变量的联合密度函数为 ),Y(X）（七、?(3x?4y)?, 12ex?0,y?0,?f(x,y)? ?0, 其他.?求：；求的边缘密度。 )2Y?,(0?X?10?PX）2（1）（ 12?(3x?4y)?dydxe12YP(0?X?1,0?2)? 解：（1） .2分 00?2112y?3x4?yx4?3?dy4?3edx?e = e?e0000 ?83? .4分 = ?e1e?1 ?)4y(3x?dye12(fx)? 2（） 分 .6 X?3x?x?3e0?8分 . ?0?0x? 16分一工厂生产的某种设备的寿命（以

8、年计）服从参数为的指数分X）八、（4若工厂售出一台设出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。布。工厂规定，求工厂出售一台设备净盈利的元，调换一台设备厂方需花费300元，备盈利100 期望。1?1?x1?0x?e4?x)f()Xe(得 .2分 解： 因为 ?44?0?0x?用表示出售一台设备的净盈利 YX?1100? 3分 Y?100?3000?X?1?x11?eedxP(Y?100)? 则 44411x1?1?e?1ePdxY?200 分.4 444011?EY?100?e?(?200)?(1?e) 所以 441?200?300e（元） .6分6433.?4 分）8设随机变量与的数学期望分别为

9、和2，方差分别为1和4，2X?Y（九、而相关系数为，求。 )X?Y?Y),D(2E(2X5?0.?0.DY?4,5,?2,EY?2DX?1,EX? 解：已知XY则 .4分 62?XY)?2EX?EY2?(?2)?E(2 .5分 )Y2DY2)2D(X?Y?D(X)?2cov(X, .6分 )X4?cov(,YDYDX?2?DYDXDY?4?2DX 分.8 =12 XY 7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已（十、知每户每日用电量（单位：度）服从0，20上的均匀分布，利用中心极限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正态分布函

10、数的值表示）.)x?( 解：用表示第户居民的用电量，则 20X0,XUiii2100)20?0(0?20?DX? 2分 10EX?ii12321000?XX? 则1000户居民的用电量为，由独立同分布中心极限定理i1?i? 3分 10100X?1?PP10100X?10?10001000?1010100X?= 4分 ?1?P?100100?1000?1000?33?10100?1000?10?1?() .6分 1001000?33 = 7分)?(?1 10 分7x,x,?,x是取自总体的一组样本值，设的密度函数为 XX）十一、（n12?, 0?x?(1?1)x, ?x)f(? 其他,0, ?的最大似然估计。其中 未知，求0?解: 最大似然函数为 nn?x?1)?)f(x?)(,xL(,?x, .2分 i1in1i?i1?n?)?,x,()?1(x 3 .分=n1 则? ),xx,?1)?lnL(x,?,x,ln()?nln(nn11 4分1,x?0?x,? . n1dlnLn5分 令0?,?,x)?ln(x . n1?1d? 的最大似然估计：于是n?1?。 .7分 lnln(x,?,x)n1 分5?服从正态分布，均值为某商店每天每百元投资的利润率)1N(,X）（十二、2? 稳定为1，现随机抽取的100天的利润，样本均值，长期以来方差?的置信水平为9