特级教师高考数学首轮复习第16讲-函数模型及其应用

1、来源：591UP一、知识结构二、重点叙述1. 函数模型及应用的界定：函数模型及应用问题是指有实际意义或实际背景的函数问题,建立相应函数模型,解函数模型,解答函数实际应用问题。这需要掌握函数拟合思想,在理解题意的基础上,把实际问题拟合转化为相应的函数问题,再根据问题要求求解。2. 函数建模方法： 3. 函数建模的步骤：审题、建模、解模、回归。审题:理解题意,把握问题本质。审题的突破口在于阅读与转译,应用题题目篇幅长,信息容量大,涉及知识点多,划分好层次是审题的关键。在审题过程中,注意领会关键词语.领会定义的内涵和外延;重视条件转译,注意将条件公式化、符号化、图形化,使条件和结论相互靠拢;与图形有

2、关的问题应注意数形结合,弄清题图联系。建模:分析题中的数量关系,建立相应函数模型,将实际应用问题转化为函数问题。解模:用函数的知识与方法求解函数模型,得到数学结论,解决转化了的函数问题。回归:将求得的数学结论还原回实际问题,检验结果的实际意义,给出正确答案。4. 常见函数模型： 常见函数模型一般地有分式函数模型,线性函数模型,二次函数模型,分段函数模型,指数、对数函数模型、三角函数模型等,解决涉及费用最省、面积、体积最大、利润最大等问题。5.应用、利用给定的函数模型解决涉及函数值、取值范围、最值等实际相关问题;、建立函数模型解决涉及费用最省、面积、体积最大、利润最大等实际问题;、根据实际数据选

3、择最佳拟合函数模型。三、案例分析案例1：某农产品去年各季度的市场价格如下表：今年某公司计划按去年各季度市场价的“最佳近似值m”（m是与上表中各售价差的平方和取最小值时的值）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。（1）根据题中条件求m（元/担）值；（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围。分析：这是涉及税收的问题，税收是以收购总价值为基础，收购总价值(单位：万元)=单价(单

4、位：万元/万担)收购总量(单位：万担)，据此建立税收y（万元）与x的函数模型。解：(1)设m与各售价差的平方和为y，则y取最小值时，所以m=200（万元/万担）。(2)降低税率后的税率为(10-x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万担，收购总金额200a(1+2x%)，则（3）原计划税收为（万元），要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，则，即，解得，又。所以x的取值范围是 。案例2：（2009上海理20）有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。(1)证明：当时，掌握程度的增加量总是下降

5、；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。 分析：可用函数是分段函数，按照自变量x取值的不同要求（即与）选择不同的对应关系，分别按不同题意解决。证明：（1）当而当，函数是单调递增的，且0，故当单调递减，当，掌握程度的增长量总是下降。（2）当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，则0.1+15ln=0.85，整理得，解得。所以，相应的学科是乙学科。案例3：甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c kmh，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(kmh)的

6、平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(kmh)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶分析：(1)抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)(平均速度)就可以解决解：(1)由已知汽车从甲地到乙地所用时间为,全程运输成本为 所求函数及定义域为: (2)依题意S，a，b，v都是正数，故有当且仅当，时，上式等号成立。若，则存在时，全程运输成本最小。若，则不存在。这时要利用函数单调性的方法求全程运输成本的最小值。设任取，使得，则，由于，则 ，即。当，在区间(0,c上是减函数。

7、则当v=c时，y取最小值。综上可知，当时，速度应为；当时，速度应为v=c。评注：此题是1997年全国高考试题。由于限制汽车行驶速度不得超过c，因而求最值的方法也就不完全是常规的方法，再加上字母分类的抽象性，使难度有所增大。本题用导数法也顶好的。另解（导数法）：令，。当时，函数在上单调递减， ，这时。当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，这时。案例4：(2009山东理21)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处

8、的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。分析：C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，而C处的垃圾处理厂对城A或城B的影响度与C点到城A或城B的距离的平方成反比，C点到城A的距离为x，C点到城B的距

9、离为,于是建立了总影响度函数y与距离x的函数关系。这就是函数建模。解：（1）如图，由题意知ACBC，其中当时，y=0.065，所以k=9。所以y表示成x的函数为。（2）,令得，即,（，舍去）当时，则 所以函数为单调减函数；当时，则 所以函数为单调增函数。所以当时，即当C点到城A的距离为时，函数有最小值。案例5：某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量（件）之间大体满足关系：（其中c为小于96的正常数）注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品其余为合格品已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，

10、故厂方希望定出合适的日产量（1）试将生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 分析：实际背景涉及日盈利与合格产品的盈利、次品亏损的关系，建立日盈利与日产量的函数关系，进而用求函数最值的方法，求当日产量为多少时，日盈利函数获得最大值。这是函数建模的问题。由于次品率是分段函数，所建立的函数模型也是分段函数模型。解：（1）当时， 每天的盈利额;当时， 每日生产的合格仪器约有件，次品约有件。故每天的盈利额。 日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：（2）当时，每天的盈利额为0。当时，。令，则。故。当且仅当，即时，等号成立。所以（i）当时，则 ，对于，有（等号当且仅当时成立）。（ii） 当时，由，得，易证函数T(t)在上单调递减（证明过程略），当且仅当t=96-c即时取得等号。综上所述，若，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润。四、总评函数建模思想是函数应用