理论力学第十章题解

1、理论力学题解第十章 思考题10.1 利用柱坐标的旋度公式或直角坐标的旋度公式证明.10.2 不便于求解.10.3 可以。斥力相当于G要改变符号,取负值。10.4 都是地心参考系.10.5 交角大不能充分利用地球自转获得速度,发射的难度较大.交角大可使卫星飞越更多地区的上空.10.6 利用逃逸速度公式 可证.10.7 参看图10.9,带负电粒子被核吸引仍以双曲线轨道向核的右下方散射.10.8 对于靶粒子初始静止的情况,粒子初始入射方向,对于质心系和靶粒子参考系是相同的.粒子相对质心系的出射方向是方向(见图10.12),粒子相对靶粒子参考系的出射速度为 其出射方向也沿方向.所以,粒子相对两参考系的

2、散射角也是相同的. 另外也可直观地得出此结论.相对质心系的出射方向即质心与粒子在无穷远处的连线方向,相对靶粒子的出射方向即靶粒子与粒子在无穷远处的连线方向,根据质心定义,靶粒子、质心和粒子在同一直线,故两出射方向相同.10.9 在m1上建立平动坐标系,为非惯性系,m2相对此系的运动方程为,利用(10.5.4)式消去即可得.10.10 写出相对质心系的角动量和动能的表达式,利用(10.5.3)式可证.第十章 习题10.1 利用角动量守恒和椭圆的轨道方程可证。 。10.2 求出势能表达式,利用两个守恒律求解,可得.10.3 先求出地球的轨道速度,再利用两个守恒律求解,可得根据计算得出慧星的总机械能

3、为零,故其轨道为抛物线.10.4 利用两个守恒律求解,可得,M为月球质量.10.5 .10.6 从动能定理得,从角动量守恒得 ,两式联列可证.10.7 利用比尼公式可证.10.8 由已知将和代入就得轨道微分方程,解之可得.10.9 轨道方程为,根据题设计算出h=1,于是上式成为.设解为,代入求得特征根,故方程的通解为 .根据初始条件,即,可求得,故解为.此外，此题也可利用两个守恒定律求解.10.10 (1);中子与质子之间的引力属于核力,当时,力将减小到倍,随r进一步增大,力将更快减小,它属于短程力,而万有引力属于长程力. (2)求出质点在半径为a的圆轨道上的运动速率为,再根据定义求出: ;

4、(3) 圆运动的周期: ;稳定性条件根据(10.4.5)式得出,为 或 ;先根据(10.4.12)式求出径向微振动圆频率,然后可求得径向微振动周期.10.11 先根据已知条件求出椭圆的半长轴a,再根据开普勒第三定律就可求出卫星运行的周期为114分;根据求出的半长轴a,代入(10.2.10)式,求出卫星的总能量;在近地点建立能量方程,求出近地点的速率v1=8.15 km/s;利用掠面速度守恒可求出远地点的速率v2=6.34 km/s .10.12 建立轨道微分方程：,解出轨道方程为,其中,选取极轴过近日点,则=0;后一个近日点比前一个近日点前进的角度.10.13 由于阻力在一个周期内产生的能量损

5、失与总能量相比很小,所以,在一周内,卫星的运动仍可按圆运动处理,因而可求出卫星的运行速度和总能量;利用机械能定理,同时,比较两式r的方次可得 ,将此值代入上式,再比较两式的系数可得 .10.14 采用柱坐标,并利用约束方程消去变量z,建立能量守恒方程和对z轴角动量守恒方程 . 求出有效势能,通过求出水平运动的圆的半径;通过证明运动是稳定的.10.15 用折合质量概念建立一质点相对另一质点作匀速圆周运动必须满足的动力学方程,从而求出两质点间的初始距离;建立沿直线进行的相对运动方程:,两边乘以,得出第一积分,从中求出,对此式进一步积分可求出到两质点相碰所需的时间为,做此积分需进行变量变换:设.10.16以日心系为参考系,测出火星绕太阳运动的周期T和轨道半长轴a ,根据公式,即可求出火星质量;用类似方法