直线和平面所成的角教案使用

1、课题：直线和平面所成的角 教学目标：（1）知识与技能：学生理解直线和平面所成的角定义及定义的合理性.学生初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤. （2）过程与方法：培养学生的概括能力和探索创新能力. （3）情感态度价值观：学生进一步内化化归的数学思想方法.教学重点：（1）直线和平面所成的角的定义的生成. （2）求直线和平面所成的角的方法步骤.教学难点：求直线和平面所成的角的方法步骤教学方法：问题探索法及启发式讲授法教 具：多媒体及传统教具教学过程：一、复习提问一）直线和平面的位置关系有哪几种？（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交二）平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义

2、：POAOA二、问题引入：直观感觉你认为当直线和平面垂直时直线和平面的夹角是多大呢？ 当直线和平面平行时呢？直线在平面内呢？ 如图，怎样刻画不同斜线与相对同一平面的位置呢？三、探究新知：（一）直线与平面的夹角定义 规定：如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角为90. 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为0.一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。剖析定义：将空间角转化为平面角。线面角-线线角（二）取值范围 直线和平面所成角的取值范围是0，90 斜线和平面所成角的取值范围是（0，90）思考：平面的

3、斜线与平面的夹角，以及这条斜线和这个平面内任一直线所成的角大小关系如何？.（几何画板最小角定理演示）猜想：平面的斜线与平面的夹角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.证明猜想：如图，已知OA是平面的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于，B是垂足，则直线OB是斜线OA在平面内的正射影。 设OM是内通过点O的任一直线，OA与OB所成的角为1，OB与OM所成的角为2，OA与OM所成的角为，下面我们用向量的运算来研究，1，2之间的关系。 猜想： 在直线OM上取单位向量，则，即，因为，所以，因此，即，得，又因为，所以。因为0cos21，所以coscos1.因为和1都是锐角或直角，所以1.（三）

4、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.如何直线和平面的夹角呢？四、例题精讲：例1. 在单位正方体中，（1） 求直线与平面所成的角.（2） 求直线与截面所成的角DCBCAD 解：（1）由正方体的性质可知，所以在平面ABCD内的射影为BD.由直线和平面所成角的定义可得，为与平面所成的角在中，所以直线与平面所成的角为.（2）过作交于点O，易知：， 所以为直线在平面内的射影. 由直线和平面所成角的定义，所以 即为直线与截面所成的角. 在中，可知.思考：结论：DCBCAD探究：尝试用向量法求解例1。向量法： 解：（1）在单位正方体中以D为坐标

5、原点建立空间直角坐标系O;。由已知可得D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),(0,0,1),B(1,1,0)=(0,0,1) =(-1,-1,1)是平面ABCD的法向量，是直线的方向向量。设直线与平面ABCD所成的角为则sin=|cos|=|=所以直线与平面所成的角为arcsin.(2) 在单位正方体中以D为坐标原点建立空间直角坐标系O;。由已知可得D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),(0,0,1),B(1,1,0)(1,0,1)(0,1,1)=(-1,0,1) =(0,1,0) =(-1,1,0)设平面的法向量为=（x,y,z）则.=0, .=0所以x+z=

6、0 y=0令x=1,则=（1，0，-1）cos=所以直线与截面所成角的正弦值为，因为直线和平面所成角的取值范围是0，90所以直线与截面所成角为30（四）直线和平面所成角的求法 1.定义法：找（作）证（指） 求 答 2.向量法：建系求（法向量） 求（角） 答 五、巩固练习：1.在正方体-中，求（1）与面ABCD所成的角；（2） 与面所成的角； （3） 与面所成的角；（4）与面所成的角。(5)2设线段，直线AB与平面所成的角为，求线段AB在平面内的射影长：OAB（1）； （2）； （3）. 重要结论：一般的地向量在平面内的射影为且直线AB与平面的夹角为，则|=|cos高考链接2009北京文16（本

7、小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面；w.w.w.zxxk.c.o.m （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）四边形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， O，E分别为DB、PB的中点， OE/PD，又， OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 设则，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）当且E为PB的中点时， 设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平