相似模型在中考题中的应用

1、相似模型在中考题中的应用 在近几年的中考试题里，一类相似模型出现的概率非常大，引起了广大一线教师的高度重视兹例析如下 相似模型(一)如图1，在RtABC和RtCDE中，BDACE90，点B、C、D在同一直线上，则ABCCDE (1)直接应用例1 如图2，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AMMN当BM_cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_cm2 (2)构造应用 几何综合性问题通常是由若干个基本图形组合而成，若能熟练掌握基本图形，添加适当的辅助线，则水到渠成 例2 如图3，直角梯形ABCD中，ABBC，ADBC，BCAD，AD2，AB4，点E在A

2、B上，将CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则BCE的正切值是_ 分析 如图4，连结DE，由折叠可知，EDCB90A90，利用相似模型(一)，则想到过点C作CHAD交AD的延长线于点H，易证：AEDHDC，四边形ABCH为矩形常规解法 如图5，连结DE，由折叠问题想到利用勾股定理 要求tan BCE，需要求BC的长，由直角梯形常用辅助线想到作高作DH上BC，垂足为日，设BCy，则DCy，易证四边形ABHD是矩形，DHAB4，HCy2放到RtDHC中，利用勾股定理，算出y5，即BC5 tanBCE 显然，常规解法要繁得多，若能掌握基本图形的性质，灵活运用基本图形，将大大帮助学生提高解题效率 注

3、本题也可连结BD，利用直角三角形斜边上的高这个基本图形，证BCEABD，tan BCEtan ABD 相似模型(二)如图6，若相似模型(一)中具备条件ACCE，则可证得ABCCDE，此为相似模型(一)的特例，不妨称之为相似模型(二) 例3 如图7，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是_平方单位 分析 此题答案许多学生都误填9，系因考虑问题不全面而导致错误若能想到相似模型(二)，把正方形ABCD斜过来放，问题便迎刃而解 正确解法：如图8，

4、正方形边长为3，显然正方形ABCD的面积为9；如图9，分别过B点、D点向l4作垂线段，垂足分别为M、N，运用相似模型(二)，易证BMCCND， CNBM1DN2，DC，正方形ABCD的面积为5综上所述，正方形面积为5或9 相似模型(三) 若将相似模型(一)一般化，可以得到如下相似模型(三)：如图10，已知点B、C、D在同一直线上，且B1D，则ABCCDE，证明方法与相似模型(一)相同 例4 如图11所示，直线yxb与x轴相交于点A(4，0)，与y轴相交于点B，将AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C (1)求点C的坐标；(2)设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合，连结PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使BPMBAC 求证：PBCMPA；是否存在点P，使PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 解 (1)C(4，0)； (2)由AOB沿y轴折叠，则BCOBACBPMBAC， BCOBPMBAC，则构造了相似模型(三)，易证PBCMPA； (3)略 实践表明，认识和掌握