矩阵分析理论的基础知识

1、前言1、 自我介绍2、 矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的3、 矩阵分析理论的组成：四部分：基础知识（包括书上的前三章内容）难点：约当标准形与移项式矩阵矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）矩阵特征值的估算（第五章）非负矩阵（第六章）第一部：矩阵分析理论的基础知识1 线性空间与度量空间一、线性空间：1数域：Df1：若复数的一个非空集合P含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P为一个数域eg1：Q（有理数），R（实数），C（复数），Z（整数），N（自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？2线性空间设P是一个数域，V是一个非空集合，若满足： 可加性指在V上定

2、义了一个二元运算（加法）即： 经该运算总存在唯一的元素与之对应，称为与的和，记并满足： 数积：（数乘运算）在P与V之间定义了另一种运算。即经该运算后所得结果，仍为V中一个唯一确定的元素。存在唯一确定的元素与之对应，称为k与的乘积。记为并满足： 则称V为数域P上的线性空间（向量空间）记为习惯上V中的元素向量， 零向量， 负元素负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有： eg2： P实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R上的线性空间，记为：同样，若V为n维向量，则可构成R上的n维向量空间线性空间。eg3： PR 按照连接函数的运算，显然可建立R上的一

3、个线性空间，记为。根据线代中向量空间的维数与基的定义。我们可以定义线性空间的基与维数3线性空间的基与维数Df3. 设V是P上的线性空间若线性无关；V中任一元素可由线性表示则称V为n维线性空间的一组基，dimV= n，若为V的一组基，则对必有则称为在基下的坐标，且坐标是唯一的。eg4. 在线性空间中，是的一组基。eg5. 中是的一组基，dim= n4. 子空间设V是P上的线性空间，若对构成P上的线性空间则称与V的线性子空间，简称子空间。eg: 最小子空间零子空间。 dim=05. 生成子空间设 ， 构成线性空间V的子空间，称为由的生成子空间，其中思考：若线性无关，则若线性相关，则6.和空间设，是

4、线性空间V的子空间，称为与的和空间，记为结论：若，是线性空间V的子空间，则亦是V的子空间。若分解唯一，则称为与的和，记为 结论： 为直和 若是的子空间，则存在唯一的子空间使7.维数公式(维数Th) (书上Th4)设V是P上的n维线性空间。，是V的子空间。则有推论：若则 即线性空间没有涉及到向量的长度，向量之间夹角等度量性质。为此引入内积概念，使这样的空间可以处理这些度量性质的问题。二.度量空间（内积空间，欧几里得空间）1. Df：设V是R上的线性空间恒有唯一的实数与之对应，记为且满足： 等号成立。称为与的内积，V称为度量空间（内积空间，欧几里得空间）eg 线性空间 易验证：满足，。故是度量空间

5、性质 性质 性质 性质 设 则有（见）2. 长度设为内积空间V的任一元素，称为的长度。记为，即3. 夹角称为与的夹角。 相应地有： 性质2. 内积空间（见推论） 若与正交，则推广到有限个元素的情形三线性空间的同构1. Df：设，是线性空间P上的两个线性空间，若与之间有一个一一对应，使得对及有： 则称与同构，称为从到的同构映射，记为：2.性质： 若在无关，则在中无关反之亦成立，即在同构对应下，线性无关组对应线性无关组。 同构的有限维线性空间，其维数相同。此外，还具有自反性，对称性，传递性（线代中）反之，具有某些性质的线性空间能否同构呢？或者说，两个线性空间在什么条件下才能同构呢？下面定理解决了这

6、个问题。Th: 数域P上任意两个n维线性空间与是同构的（proof见）推论：数域P上两个有限维线性空间与同构 类似的，我们可以研究内积空间的同构（自己看3）Df：内积空间与，若（一一对应）使有：这节课，就讲到此，下去看书ch1.1-4. ch2. 1-3练习：习题一1.2 习题二1.即作为线性空间与同构。在该同构关系下，向量内积保持不变。同构的两个欧氏空间具有相同的维数。Th：所有的n维欧氏空间都同构3.线性变换线性变换与线性空间具有密切的联系，是矩阵论研究的主要对象之一。一、 线性变换1. 映射在集合V与之间存在一个对应法则使得对于V中的任一元素a,都有中唯一的元素与之对应，称此对应法则为到

7、的一个映射，记2. 变换线性空间V到自身的映射，称为V的一个变换。3. 线性变换称线性空间V的一个变换为线性变换；若对都有： (x+y)= (x)+ (y) (kx)=k(x)eg1.V是线性空间，定义，为常数。则是V上的线性变换。证明：首先，可以看出是V的一个变换其次， 对于该线性变换有： eg2.设A，B是的两个给定的矩阵，对，定义：则是线性空间的一个线性变换。eg3.,则是上的线性变换4.零变换与单位变换Df1：设V是线性空间,有。则称为零变换”O”。Df2：设V是线性空间,有。则称为单位变换”I”。二、线性变换的性质：1.； ； 即：2. 设。则即：线性变换保持向量的线性组合与线性关系式。3. 线性变换把线性相关的向量组变换线性相关的向量组注：线性变换并不能把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。三、线性变换的运算及运算规律1. 线性变换的运算：设，是线性空间V的任意两个变换。 和变换：对 ，称为与的和变换。记为：仍为V的线性变换。 积变换：对 ，称为与的积变换。记