确定二面角大小的方法

1、确定二面角大小的方法求二面角的大小是高考的一个热点，但对学生来说又是一个难点。难在用向量的夹角公式（、分别为二面角的面的一个法向量）算出后，不知道二面角的大小为或-。因为要结合图形看二面角的平面角是锐角或钝角才能确定答案。这对有些题，学生不易办到。在许多资料上遇到求二面角的大小时，只给出答案，避而不谈为什么。另外对于出“求二面角大小”的题也有局限性。因此本文介绍一个简便的方法，用于判断二面角的大小为或 -。aa引理1： 如果、的方向如图（1）所示，那么二面角的大小为-。如果、的方向如图（2）所示，那么二面角的大小为。aa图（2）图（1）图（3）RQ（Q）P引理1的证明比较简单，本文从略。引理2

2、： 若平面的一个法向量为，点P在平面内，点Q在平面外，若 0， 则和的方向指向平面的同侧；若. 0，则和的方向指向平面的两侧。 证明：如图（3）所示，作= ， 则 ，若 0，则0，和的方向指向平面的同侧，即和的方向指向平面的同侧。若0，则0，和的方向指向平面的两侧，即和的方向指向平面的两侧。PaQ图（4）aPQ图（5）定理：在二面角的 棱a上任取一点，在该二面角内任取一点，平面的一个法向量分别为、，若与同号，则二面角的大小为-；若与异号，则二面角的大小为。 证明： 若与同号，则与同正或同负。 当与同正时，由引理2得与的方向指向平面的同侧，并且与的方向指向平面的同侧。如图（4）所示，再由引理1得

3、二面角的大小为-。 当与同负时，由引理2得与的方向指向平面的两侧，并且与的方向指向平面的两侧。如图（5）所示，再由引理1得二面角的大小为- yxzABCSMD图（6） 若与异号，同理易得二面角的大小为。 例1（2009年全国高考）如图（6）所示，四棱锥 中，底面为矩形，底面， =， = =2，点在侧棱上， = （1） 证明：为侧棱的中点。（2） 求二面角的大小（1）证明：略。（2）解：由已知建立如图（6）所示的空间直角坐标系。=， = =2，（，0，0），（0，2，0），（0，0，2）。又底面为矩形，（，2，0），由（1）知为侧棱的中点，（0，1，1）。设平面的一个法向量为=（a，b，c），则

4、 ，a=c，b=c，令c=1，得=（，1，1）。同理可得平面ABM的一个法向量=（1，0，）。由向量夹角公式得 =。设SB的中点N，则N（1，1），在二面角的棱上取一点A，在二面角内取一点N，则=（-1，1），又=10，=0由本文定理有二面角的大小为-=-arccos。zxyABCD图（7）E例2 （2007年山东高考）如图 （7）所示，在直四棱柱-中，已知=，。 （1）设是的中点，求证：平面 （2）求二面角的余弦值。 解：（1）略。 （2）直四棱柱-，又，建立如图（7）所示的空间直角坐标系，设=1，= =，=1，=2，=2， ， ，=（1，0，2），=（1，1，0），设平面的法向量为=（a，b，c），则=0，=0，a=-2c，b=2c，令c=-1，得=（2，-2，-1）。同理可得平面的一个法向量=（1，-1，1）。由向量夹角公式得 =。在二面角的棱上取一点，在二面角内取一点，=（0，0，2），=-20，=20，由本文定理有二面角的大小为=arccos，二面角的余弦值为。综上所