沪教版初一下数学详细讲义详细版

1、 第十二章 实数 第1讲 实数的概念 【知识要点】 1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数,也就是不能用两整数比表示的数. 无理数可分为正无理数和负无理数.只有符号不同的两个无理数是互为相反数. 2. 实数：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数分类： ?正有理数?有理数0有限小数或无限循环小数?负有理数实数 ?正无理数?无理数无限不循环小数?负无理数? 【学习目标】 理解无理数、实数的概念 【典型例题】 【例1】 下列表述是否正确,并说明理由： （1）一个实数,不是正数,就是负数.（2）有限小数都是有理数,无限小数都是无理数. （3）一个有理数不是整数,就是负数.（4）一个无理数,不是正数就

2、是负数. （5）一个实数不是有理数,就是无理数. 【分析】利用实数、有理数、无理数的概念. 【解答】因为零是实数,但它既不是正数也不是负数,在（1）的实数分类中并没有把零包括在内,所以（1）不正确. 无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数是有理数,所以（2）不正确. 因为零是有理数,它既不是正数也不是负数,在（3）的有理数分类中没有把零包括在内,所以（3）不正确. 无理数可分为正无理数和负无理数,所以（4）正确. 实数是有理数与无理数的统称,所以（5）正确. 【注】零在实数中仍是正、负数的分界点,不可忽视. 】选择题：2【例 这个数一定是 在实数范围内,有一个数不是正实数,（

3、1） ）非负实数）非正实数 （D 负实数 （B）负有理数 （C（A）3?0.589,7,0.1101100110001,?3.14,0,0)(两个（2） 实数11之间依次多一个 4 ）（ 中,无理数的个数有 5个）4个 （D）（A）2个 （B3个 （C. C）,非正实数,即零或负实数,选（【解答】（1）按实数可以分为正实数,零,负实数. ）（2）判断无理数应根据无理数的概念“无限不循环小数是无理数”来断定,应选（B 】分别将下列各数填入相应的横线上：【例3 ?733 ?131113重复出现）,3.1416，1.131，?，?10，0.343213432134321?（34321，3 33915

4、 1）3之间1的个数依次多（每两个 有理数是 无理数是 a0)?、b是整数，且b(a,无理数是无限不循环小数形式的数,【分析】有理数是能表示为 b. 分别用这两条标准去检验上面的数得出正确结果7333.1416;,（34321重复出现），?，0.343213432134321? 【解答】有理数是： 1539? ?131113?10，1.1313，. ）3之间无理数是：1的个数依次多1（每两个 3 【基础训练】. 两类1. 实数可以分为和 和、 2有理数可以分为和;但按符号来分还可以分为 . . 叫无理数3 221 ?,5,3.14,?2,0.3,0.3,在,无理数有个,4它们是 73 5写出在

5、2. 和3之间的一个无理数 第2讲 数的开方 （1）平方根和开平方 【知识要点】 1.平方根 2a?xxaa那么,也可叙述为：“如果如果一个数的平方根等于那么这个数叫做,的平方根a ”的平方根.就叫做 开平方2.aa. ,求一个数叫做被开方数的平方根的运算叫做开平方 平方根的性质3. a?a其中,的两个平方根可以用“”表示一个正数有两个平方根,它们互为相反数.正数 ?aaaaa的负平方根; 表示,的正平方根（又叫算术平方根）,读作“根号读”表示a”作“负根号. 0?00. ,零的平方根记作因为任何一个正数、负数或零的平方都不是负数,所以负数没有平方根. 4.开平方与平方的关系 2a?xxax记

6、的平方根”,那么“开平方与平方互为逆运算,根据平方根的意义,如果叫做, a? 我们得到：作,?2 2?aa);?aa?,(0?a 时即：当,（1）一个正数的平方根的平方等于这个数 2.a?a0?a 2（）一个正数的平方的正平方根等于这个数时,即：当 2.a?a0?a 一个负数的平方的正平方根等于这个数的相反数,即：当时 【学习目标】 ; 理解平方根与开平方的概念1.2.理解开平方与平方互为逆运算的关系; 3.掌握平方根的性质,分清平方根与算术平方根的区别,并知道它们之间的联系. 【典型例题】 例1 判断下列说法是否正确： ?34?的平方根是3的平方根是）9. . （1）1的平方根是1. （2）

7、-16 16981?4 （6的平方根是）（. 5）-7是（449）的平方根?1. ,是因为1是正数,1的平方根有两个【解答】（1）不正确.（2）不正确.因为-16是负数,负数没有平方根. ?3的平方是应该是9. （3）不正确. 81?81819. =9,表示81的正的平方根.它是一个正数而（4）不正确,.2?，?749的平方根但反过来说,49是49的平方根,根据平方根的概念（5）正确.因为,-7. -7就错了是 16?164162?. ,所以(6)不正确的平方根即为.4的平方根,的平方根应是. 【点评】解答这道题目是对巩固和掌握平方根的概念和性质不可忽视的基本训练 2】求下列各式的值：【例 9

8、 2?0.01?144?（-6） （4 2）（31（） （16 9 ?144求的算术平方根）;的值就是求144的正的平方根（即144的值就【分析】求1699 ?0.01的值就是求0.01;的平方根求是求;的负的平方根（即的算术根的相反数） 1616 22（-6）?（-6）的值就是求求,是得到的算术平方根的相反数.搞清各式的符号语言的意义正确解的关键. 93 ?12144? （2【解答】（1） 164 20.10.01?（-6）?36?6 ）（ （3）4 【例3】求下列各数的平方根： 2255?1? ）（30 （4）0.64 （1）（2 ? 644? 20.8.?0.64?0.64?0.8（?）

9、0.64,?0.8.? 【解答】）1（即：的平方根是 2 25252555?.?，?的平方根是?，即： （2）? 648648648? 20.0?0，即：?0，?0的平方根是0 ）3（ 2225981981?1?，而?， 4） （? 4416416? 225995?.1?的平方根是?，即：?1 ? 4444?用符号语言表示一个非负数的【点评】运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法. 应由不习惯到习惯,这对加深平方根概念和性质的理解有好处平方根, y?3x5?1?2x2?yx?. 的平方根的平方根是【例4】 已知,的平方根是,求22?，2?5?x?3y?4?3y?x251?2x12x?,

10、,即：【分析】由已知得： =,xyy?x. 的值,解由方程和组成的方程组得再求和的平方根2x?1?25x?13?,x?y?13?3?16,?x?y?4.解得 的平方根是【解答】由已知得?x?3y?4y?3? 【基础训练】 1.下列说法正确的是（ ） （A）因为3的平方是9,所以9的平方根是3 （B）因为-3的平方是9,所以9的平方根是-3 223)(?(?3) 没有平方根C（）因为的底数为-3,所以 -9没有平方根）因为-9是负数,所以（D. ,有几个？并说明理由2.下列各数是否有平方根,如果有224)?(x? ）-8 （3）1（）0 （4（2 225?b?3a?b?aba? ,3.已知求与的

11、值互为相反数4.求下列各数的平方根和算术平方根 2?26)(?5)? ）0.0009 （）3 2）（1（. 5.求值?2 221513?3 3（1） （2） （?2 22? 10?8?8? ）6（ ）5（ ）4（ 【提高训练】 a,比这个数大21.一个数的算术平方根为的数是 ( ) 2a?2a?2a?22?a (A)）（C （BD） （ 2?55?aa?a的取值范围为 2. （ ） ,则a?5a?5a?5a?5 D） （B） （ （C(A) ） 22.2)?5)?(x?(x?5x2? 3.,若则 2x 9?y?8?x?x8的值. ,求4.已知 y2a?3aa16a?3的值求和. ,5.已知一个

12、正数的平方根是 2?2x?y1)y?3u?(x?xx,y,y的值6.已知. 的最小值和取得最小值时,为实数求 第2讲 数的开方 （2）立方根和开立方 【知识要点】 1.立方根 与平方根类似,有： 3aaa”表示,的立方根,用“如果一个数的立方等于,那么这个数叫做读作“三次根 33axaaa?x就叫那么,也可叙述为“如果;”叫做根指数3“,叫做被开方数中的,”号 3xaa. 的立方根”,记作做 2.开立方a. .求一个数开立方与立方互为逆运算的立方根的运算叫做开立方 3.立方根的性质由立方运零的立方等于零,我们已学过正数的立方是一个正数,负数的立方是一个负数,也就是说任意一个数都零的立方根是零,

13、算可知正数有一个正立方根,负数有一个负立方根,. ,而且只有一个立方根有立方根 ,可以得到类似于平方与开平方之间的关系,根据立方根的意义?3 333aaaa,?a 是实数）.（以上 3a. 不能忽略”,方法与技能：一个数的立方根记作“根指数33? 333338?28?28?88?28?2?如果可见,有,有.一般地由于 33aaa?那么负数的立方根可以由它,0则如果把非负数的立方根叫做算术立方根,. 的相反数的算术立方根的相反数来表示,也就是把“”号提到根号外面来 典型剖析 【学习目标】; 1.理解立方根与开立方的概念; 2.理解开立方与立方互为逆运算的关系 【典型例题】 求下列各式的值：】 【

14、例1 27 3331?64?64? ）4）（1 ）（ （23） （3125 33axxaaa?x的立,记作【分析】 由立方根的意义,如果就叫做的立方根,那么可知?3 33aaa?. 方根的立方： 33464?64,?4 1）【解答】 （ 3? 34?464?64,? （2） 334?64?64 也可以这样求：3 327327?,? （3）3? 55125125? 3? 31?1?1,?1? （4） ）判断题（对的打“”,错的打“”【例2】 1?. 的立方根是1（）1. （2）任何数都有立方根 330?b?aba?. 那么,）如果（3. （4）两个互为相反数的立方根也是互为相反数1. 这个数是0

15、或（5）一个数的立方根和平方根都是它本身, 3644?. 6的平方根是）（1. （）. 1的立方根是【解答】（1） 3aa. 记作都有唯一的立方根,.（2）（）任何实数?33 33333aab?abba?a?可推出是;的立方根,同理则由,.（3）（）.因为?33 33ba?ba?0a?b?. .,即 33?aa?两个互为相反数的立方根也互为相反数（）,. . （4） 3xx?x, 则的立方根是它本身如果一个数(5) () , ? 32x?x?x,?x?x0x?0.x?x?11?,则的平方根是它本身.或如果一个数,?20?1x,x?xx?0?x1. 或则,所以 3?36?16?164?43. 它

16、的平方根为. ,（6（） 332a?aa?_. 0,】3 若则【例 333223a?a?aa?a,?aa?,?a0a. 【解答】0, 【例4】 求下列各数的立方根 3125?3? （31）0.216 （2） （ 8要先将带分数化,求带分数的立方根,【分析】运用立方运算求一个数的立方根是常用的方法 33335?a125?125?a,但对于平方根来说不能适用.为假分数用这个性质有,. 因为复数没有平方根3?0.60.216 ）【解答】1（ 30.60.216?0.216?. 0.6,即的立方根是3327327?3? 而）, （2? 125882? 3333?3?3?. 的立方根是即,3 28283

17、?3?55125?125, 3）（ 35125?5125?; , 的立方根是即 35?125?125?5. 的立方根是, 即 【基础训练】 1. 判断 12555? ）的立方根是（ 和（1 885121?（）的的立方根是没有意义的 （2） 21611?（ 3（） 的立方根是 3271（ 4 ） （4）的立方根是 64273?（ ）是 的立方根5（） 5125 ） 2.下列说法正确的是（ A（）一个数的立方根有两个,且它们互为相反数 ）任何一个数必有立方根和平方根（B C）一个数的立方根必与这个数同号（ ）负数没有立方根（D 3. 求下列各数的立方根：27(3)0(2)?(1)343 216 求

18、下列各式的值：4.3 ?171251 3?(4)4?(2)(1)?0.027(3) ?333?2758? 5.计算： 6311 3? 330.125?(2)?(1)2731?(3)?3 33649216 【能力提高】 333)?n(m0?n?27m?8?. ,则1. 设 的立方根= 23?1aa?1?0,a?3. 若2.求的值 4m2?n?2m?n?5m?nB?A8?58n?m? 的算术平方根是, 是3.已知的立方根,B53A?. 求的立方根 30?8?x27(?1) 4.解方程： 3aa 333.,?bab?a? 5.立方根有如下性质：3 b3b 30.01?21.6的值(1)计算：. 16

19、 333,?m,3?n2nm、48.(2)的代数式表示用含设 381 第2讲 数的开方 n次方根 3）（ 【知识要点】 n次方根 1.aannn次方根,的,那么这个数叫做次方(也可叙是大于1的整数)等于如果一个数的 nnxaxannax?.),那么平方根述为“如果就叫做,的记作(次方根”是大于1的整数n次方根的特例和立方根是. n次方开 2.annan叫做根指数, 求一个数,的. 次方根的运算叫做开叫做被开方数次方nn次方简称“开方”开. 次方根简称为“方根”;n次方根的性质3. n次方根包含平方根和立方根在内,而平方根和立方根有不同的性质由于,这使得研究n次方根的性质时,必然要把指数按奇数或

20、偶数分别进行研究. naaa是任其中被开方数的奇次方根有且只有一个,”表示用“,与立方根类比：实数n是大于1根指数的奇数. 意一个实数, nana”表示它们互为相反数,正次根用“,与平方根类比：正数,的偶次方根有两个 na?nnan0?a是正偶数次根用其中被开方数“根指数（当,”读作“表示次根号”,负, na?n2n?）,负数的偶次方根不存在时,中省略在. n0?0nn 次方等于零,所以零的表示为次方根等于零,因为零的n次方根,必须用分类思想把指数分为奇数和偶数来考虑,学习奇次根方法与技能：研究式时与立方根类比,学习偶次根式时与平方根类比,这种类比方法是数学思维重要方法之一. naannan次

21、次方根都记作综上,无论,为奇数还是偶数对于正数的的正,称为正数nan0次算术根,有下列重要性质：.算术根（的的 次算术根为零）正数 nknmmk.?aan为大于或等于2的整数） （ nkmka化为,即将这一公式可以顺用即根指数与被开方数的指数如果有公因数则可以约去, nknnmkmmaa.a. 化为也可以将,反过来 【学习目标】n; 次方根的概念1.理解nn; 次方与理解开次乘方互为逆运算的关系2. 】【典型例题 求值：【例1】 的四次方根3）16（ （2）-32的五次方根 （1）32的五次方根32? ）的五次方根4）0.000064的六次方根 （6（4）64的六次方根 （ 243它们互为相,

22、运用乘方运算求方根的值是常用的方法,对于正数的偶次方根有两个【分析】 n学会正确的语,增强分类的意识反数要充分理解,求,次方根的值必须考虑指数的奇、偶性. 言表述是很重要的,给书写也带来简便5322? ） 【解答】（1 5232?的五次方根 32 5?32?2?） （2 52?32? -32的五次方根4?16?2）3（ 62?64? 16 的四次方根6?642?）（4 6264? 的六次方根646?0.000064?0.2?） （5 60.2?0.000064? 0.000064 的六次方根5232?） （6? 3243? 32232?的五次方根 5 2433243 【例2】 选择题： ） 正

23、确的是（,下列语句中1. nana （A）正数次方根记作的 naan有意义当且仅当则是非负实数时, （B）如果是偶数,n次方根无意义 C）零的（D）任何实数都能开方 5?x在实数范围内能开偶次方根的条件是（ 2.） xx?5x?5x?0 ） （C）（A（）D为任意实数 （B）【分析】理解立方根和开立方的概念 【解答】1.（B） nananann次方根记作的是偶数时次方根记作“,正数”当, 是奇数时,正数当的 na?”,故（A）错“. nanaan次方为.零的所以故（B（当）对为非负实数时,是偶数）有意义有偶次方根,零,故（C）错. 负数没有偶次方根,任何实数不一定都能开方,故（D）错. 2.（

24、C） 5?x?0x?5,故选（C解得由被开方数）. x. 】求适合下列等式中的【例33?94810?10xx ） （1）2nn 次方与【分析】理解开次乘方互为逆运算的关系3?399?9310）?（10101010x因为是,是因此的立方根,所以【解答】（1）的立方根?310?xx?0.001. ,即24888210?(?10)101010?x因的四次方根由于是,所以,2（）由已知可知,是,的四次方根210?x100?x. 此即, 【基础训练】 1?的五次方根是（ ）1. 322.81的四次方根是 （ ） 42?的四次方根是（ ） 3. ? 3?55)(? ） 的五次方根是（4. n)n是偶数(a

25、?0,x?a?x ,那么5.如果 正确的是6.下列式子中, 541?B)?11?1(A) 441?1)C)(?11?)(D?(47.用符号表示下列各方根,并求出各方根的值. 1?(1) 的三次方的三次方根 21 2）的六次方根（ 64（3）8平方的六次方根 4 334)(5?63 计算：8. 【能力提高】 1.下列各式不正确的是 43?6(?6)(?8?2B)(A)4 nn3)n是奇数D)a?5?a(C()?125x?y?z)xyz(xyz?0)?2. yx?y?zzxxyz 200720073332?1)2?(1)(4 3.计算： nnnnnaan)(aa?的取值范围试讨论, 是自然数4.已

26、知是实数且成立.及. 实数的运算3讲 第 ）用数轴上的点表示实数（1 【知识要点】 用数轴上的点表示无理数知识点1 1对角线例如：边长为,的正方形方法一：用画图的方法找到数轴上的一个点来表示它. 2, 长为（这在学习了直角三角形中勾股定理后很容易知道 2 我们可以在数轴上以一个单位长为边长作一个现在暂不作介绍）, 2OO2)(?B 正方形,以原点为圆心,正方形对角线为半径作弧,与数轴正 2BA就表示 图,与数轴负半轴交于点1 半轴交于点就表示无理数 ?2. 无理数?可以精确到百分.例如：方法二：用无限不循环小数点的近似值来确定这个点的位置?3.14这个点的位置来确定数轴上表示位的近似数. ?

27、x303.14412?1 知识点2 数轴上的点和实数成一一对应 每一个有理数和无理数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来数轴上的每一个点都可以用一个有理数或无理数表示.为有理数和无聊隶属统称为实数,因此,全体实数所对应的点布满了整个数轴,数轴上的点和实数成一一对应. 知识点3 实数的相反数和绝对值 a的绝对值记,实数一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离,叫做这个数的绝对值a?作 , aa?0时当 0a?0?a 当时 ?aa?0时当 a的相反数非零实数零的相反数是零,符号相反的两个数叫做互为相反数,绝对值相等?a. 是 两个实数大小的比较4 知识点两,零小于正数两个实数可以比较大小,其大小顺序

28、的规定同有理数一样,负数小于零右边的点所表示的数,从数轴上看绝对值大的数较大;两个负数,绝对值大的反而小个正数,. 总比左边的点索表示的数大 两点间的距离同一数轴上,知识点5 ba、BA、BA离是的距两,那么数在轴上,如果点点、点分索对应的数别?b?a?AB. 有理数的绝对值、相反数、大小比较法则都自方法与技能：当有理数系扩展到实数后,了特别是数形结合思想仍然是研究的重要方法.然延伸到实数系.有关概念、性质仍然正确,. ,大大的提高了学习的效率解了数学系扩大的原则 【学习目标】; 1.会用数轴上的点表示实数; ,会比较实数的大小2.理解在实数范围内绝对值、相反数的概念 典型例题】【 1】写出下

29、列各数的相反数与绝对值：【例? 321?00.57?7? , 5aa?0)?0)(aaa(a或;【分析】与有理数一样,实数的相反数是实数的绝对值的为0)?(a?a. 0.50.50.5?; 的相反数是,绝对值是【解答】 1222?11?; 的相反数是,绝对值是 777?; ,的相反数是绝对值是000; 的相反数是绝对值是,?; 绝对值是的相反数是, 555 3337?7?7? 绝对值是的相反数是, 315?3. 】比较的大小与【例2 5?2.236,5?3?2.236?3?0.764 【分析】 3?1.732,1?3?1?1.732?0.732 ?可以先将无理数用近似的有限小数表示,转化为有理

30、数后再进行比较. 5?3?2.236?3?0.764 【解答】 1?3?1?1.732?0.732 ?0.764?0.732 ?5?3?1?3 A、B63?BA ,和所对应的数分别为【例3】 如图2,在数轴上,如果点求、点两点间的距离. BA 0363211? 2 图 ?6?(?3)?6?3?AB6?3 【解答】 也可以这样计算：【注】 ?AB?3?6?3?6)?(3?6)?3?6 22cb、a、?b?c)c?a?b?(aa?的在数轴上的位置如图【例4】 已知3所示,则值等于（ ） 2a?ba?2c （）（BA） ?ab D） （C） ac0b 图 3 ?b?a?c. ,知 如图12-5所示【

31、解答】 22?c?a?,b?c?(a?c)?(b?c),a?a?,ab?a?b ?a?a?b?c?a?b?c?a?.选（原式C）. 21?x?2?x?1?x?(2?x)?（是, ） 【例5】 当04x?44?4x4x?4 （B） ） （）C（D（A） 2?2?x?,x?1?1?xx?x?1,2?x0,(2?), 【解答】 ?x?2?x?2(1?x)?4x?4?,选（B）原式. 2xx?9?9 ） 的值是（,的值最大时当 】6【例3?3?93 ） ）A）（ （B）D （C（ 229?x?S?9?9?x9?0,?. 【解答】 29S3?x?0?9x. ）选（时,D的值最大,当且仅当为,此时 x0?

32、xx0x?结合不等式 由于二次根式,表示,的算术平方根隐含条件是,【分析】. 获得如上的性质,b、a?a?b?对于,首先间的距离的几何意义是表示数轴两点,也是数形结合重要知识点ba?ab?0b?a?ab这是有广泛应用的知识.时,其次与实数绝对值概念结合,当,. 点 22x6x)?(?1?(5?x. 的取值范围,求】【例7 如果 22x5?1?x?x)?)x?5?x?(1(5?x到点,表示点 ;到点表示点的距离【解答】?1 的距离,从图4上观察, 03541?12 图4 x51?之间时,恒有到点当点 在点 22?5?x?x?1?x)?x?1?5?x?6?(5x)?(?1. ?1?x?5. 【基础

33、训练】 1.无理数可以用（ ）点来表示. 2.数轴上的点都表示（ ）数. ?5的点离开原点的距离是（ 在数轴上表示）. 3. 3?4的相反数、绝对值依次是（ ）、（ ）. 45 72，?2. 所对应的点的大致位置5.在数轴上分别标出 3 1015?NNMM两点间的距、设6.在数轴上对应的点是,那么在数轴上对应的点是, ） （ 离是 (A)15?10(B)15?10 15?D)?(C)?101510(7.比较下列各组数的大小. (1)2与?10(2)?2与?10 62?42?3(4)?5与(3)33与 【能力提高】 234.a)b)?(b?b?(a,b?0?a34 1.如果试化简: 556?2?

34、56?33之间求两个无理数2.与由. ,试在与之间求一个无理数;在 1 33aa?a 已知3.为实数,化简: a? 4a3?aa16?a3. 4一个正实数的两个4.,与次方根分别为求与这个正实数 第3讲 实数的运算 （2）实数的运算 【知识要点】 知识点1 算术平方根的积和商 ab?ab(a?0,b?0) aa(a?0,b?0)bb a,b都是算术平方根这里的,既可从左到右,也可从右到左,注意：公式都是双向的非算数平方根,公式不一定成立. 333aba?ba?0,b?0a?0,b?0,就不能直接应用如,应将当且仅当时,成立. 33?a?a再进行化为. nknmmka?a,另一方面,更要仔细对待

35、对于上节已提到的算术根的基本性质. ab?ab,对于如下的应用十分频繁： 22b?ab?aab(根号内的数可以移到根号外;反过来,也可把根号外的数移到 22b?abb?a.aa0,a? 的正负,),这里要特别注意如则根号内知识点2 近似数的精确度 近似数与准确数的接近程度即近似程度,近似的程度的要求叫做精确度. 近似数的精确度有以下两种表达方式： 一种是精确到哪一个数位,例如精确到千分位（即保留3位小数）,那么准确数与近似数的误差不大于0.0005（即万分之五）,这是因为近似数是经过四舍五入截取得到的. 另一种是指定保留几个有效数字.对于一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,往右到末尾数字为

36、止的所有数字,叫做这个近似数的有效数字.如果保留五个有效数字,的近似值为3.1416.那么的准确值在3.14155与3.14165之间,绝对误差为0.00005.如用代表? ?3.1416?0.00005. 圆周率的准确值,则利用无理数的近似数作计算时,中间过程中,应比最后要求精确度多保留一位数字,到最. 按最后要求取近似值,后再按四舍五入法知识点1和2都是难点,应结合典例剖析仔细理解. 【学习目标】 1.掌握实数的加减乘除运算; 2.会运用算术平方根的积和商进行计算,理解近似数的精确度. 【典型例题】 【例1】不用计算器,计算： 1011 ;2?10;(2)(1)210?5?10? 332

37、223.?2)6(;3(4)(3?2)(3)【分析】掌握实数的加减乘除运算,通过合并同类项以及算术平方根的积和商来计算. 101 10?10【解答】(1)21033101 ?(2?)10 33 ?(2?3)101 (2)5?2? 2 ?5?2?2 ?25 326?666?6(3) 222)3?2)?(4)(32 ?2)3?3?2)(?21.?(3?2)? 3mm0,0,n?m?(1);(2)（使分母不含根号）2【例】已知化简：. 3nn 【分析】运用算数平方根的积和商来计算 mmnmn ?;(a(1)b?ab) 【解答】2nn(n) 322333mnn(m)m 333?.(ab?ab)(2)

38、3n33)n(n 10 ?10?2. 【例3,要求保留两位小数】化简,再用计算器求值 2 【分析】运用算数平方根的商运算 10 ?10C?2【解答】2 10 ?10?22 ?10?5?23.162?3.142?2?2.2366.325?7.02613.351? 13 0?1).?3?(?1)?312?21? 4】计算：【例3 28 327333?(?)?3?, 【解答】333 2288 2,?231)?2(3?21?3 11 0?，?12?1?3，12?1?4(1)?3 2213 1)3?(2?3?2?2?原式? 22 2.? b0a? 当,. 化成分母不含根式的式子时【例5】a babab1

39、 2?a?a).?aab(?0,? 【解答】 2aaaa 3(a?0)?a结果是 】化简的【例6（） aaa)(a)(?)(AaaB?aC?()Da 33?0,?a?a0.?(?a)【解答】? 332 )?a?)(?(?a?a)?(?a 2(ab?ab?a)?a?( .?aa?).(C选【基础训练】 3825? 计算）的结果是（ 137?3?7 （C）C （A） （B） 2下列式子中,正确的是（ ） 20.6?3.6?13)13(? B）（A ）（ 3336?5?65? ） ）（D （B ）,正确的是（ 3下列各式中 6324?16?a6)?(3a ） （A ）（B 02?13.14)(?3.

40、14(?3.14) （D（C） 1 0?(x?1)x的取值范围是（ ）,则 4 要使有意义 2x(?x?1x? （A）（B） x?1x?x?1x? （C且 且（D） 1?a?跟号外的因式移到根号内,把得（ ） 5 a a?a?aa ） （C（ （A） （BD填空题： ?22?b0?10?b2a?b?a. ,6. 如果那么, 2x?0?x?(?x)?x如果. 7,则 ?32?2)5(?2)(5?. 8计算 35481?8?32. 计算 9 11221x0?(4)x(?x)4?. 若 10,则xx 【能力提高】 221x?4?4x?y?3x?4yyx、的值为实数. 1已知,求 x?2 x?6?xx

41、?1?x?6?11x ）已知（,求（122） 21)?2?82?(?2?32(3?2). 3计算 29xx?62x0?3)?(x已知等式4的值 求 x?3 111 x?x?8,?x的值试求,5已知. 且 xxx 第4讲 分数指数幂 【知识要点】 知识点1 （1）分数指数幂概念. mm1? nm (0),a?0),?aa?a(a?nn其中,我们规定：把指数的取值范围扩大到分数 nmamm? aan,ma1n?nn是底数与. .叫做分数指数幂为正整数, 在这规定中的, (2)有理数指数幂概念 整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 知识点2 运用有理数指数幂的性质计算 （1） 有理数指数幂运算

42、性质： pqp?qpqp?qaa,a?aa?a?q、0,pa?0,b? ,设那么为有理数 pqqpa?(a) paapppp?)b,(?(ab)a pbb（2） 利用幂的性质计算. 幂的指数取值范围扩大到有理数后,幂的运算性质仍旧适用. 【学习目标】 1.理解分数指数幂的概念以及会运用指数幂的性质进行计算; 2.理解分数指数幂的意义与表示方式以及它与算术根的内在联系. 【典型例题】 【例1】 把下列方根转化为幂的形式,幂的形式转化为方根形式. 2411? 5634(7)(6)3(5)(4)(3)(2)(1)43?381?7)33 55415【分析】分数指数幂与方根互化时,方根的根指数作为分数指

43、数的分母,被开方数的指数作为分数指数的分子. 141121211?4 )(7)(6)3(5)3(1)43(2)?3?(3)157(4)81或9或35635334 【解答】35 【例2】 计算：（结果用幂的形式表示） 1211121111810 )?a?(1)()(2)1010a(5)(2(3)2?8?5(4)a5633335222 27【分析】运用有理数指数幂的运算性质计算 11822 ?33 ?)?(1)()3 【解答】? 3327?2121? ?1010?10(2)10?33331111 (3)2?8?(2?8)?16?42222 1111111? 3a?a?a(4)a?a?a?32336

44、62212110101042 ?400?)2?(2)5?(5)5(5)(2?5555 【例3】 利用幂的运算性质运算： 334312?8?(1)5?25(2)(3) 【分析】利用方根形式转化为幂的形式,通过幂的性质来解决. 151 65 633125?55?5?5?(1)5?5632 【解答】1111315 3 4)?2?2(2?2?2(2)?8?28?2?4442422 11?1 4222?2?2?44111111? 2 332?3?3)?3?2?(3)12?33?(2?323322 1 632?3?26 a?bb?cc?abb?c?ac?aac?ab?c?bx?xx 】 化简：4【例【分析】利用分数指数幂化简求值. a?bb?cc?ab?caba?cabc?bc?axx?x? 【解答】 ?ca?bbc?ac?c?a?babxx?x?b?c?aa?bcb?c1c?a1a?b1? x?x?xc?abb?ac?ca?b?ca?b b?cc?aa?b (c?a)?(a?b)(a?b)?(b?c)(b?c)?(c?a)x?xx(b?c)(b?c)?(c?a)(c?a)?(a?b)(a?b) (c?a)(a?b)(b?c)x? 0?1?x15a5b3c,?5?3155ab?bc?3ac?0成立. 【例5