立体几何空间向量的计算

1、立体几何 空间向量的计算【知识梳理】空间中任意两个向量必共面.空间中两向量的加减、数量积、数与向量积的运算及运算律与平面向量完全一样. 共面向量定理和空间向量分解定理由“二维”扩充到“三维”.1. 向量的有关概念：向量、向量的模、零向量、单位向量、相等（反）的向量、共线（平行）向量、共面向量、向量的夹角、向量的线性表示、法向量、方向向量.2向量的运算及几何表示：（1）加法：_；（2）减法：_；（3）数乘向量： （4）向量的数量积：定义：； ，用于求向量的夹角；，用于求距离； ，用于证明两个向量垂直.3重要定理：（1）共线向量定理：存在实数使_；（2）共面向量定理：向量与两不共线向量、共面存在实

2、数对x、y，使_；推论：若O、A、B不共线，.则P、A、B共线_.（3）空间向量基本定理：若、不共面，则存在唯一的x, y, z,使=_.推论：若O、A、B、C不共面，.则P、A、B、C共面_.4空间向量的坐标运算：，则（1）；_；（2） （3）模长公式：；（4）夹角公式:；（5）若,则_；中点的坐标是_；三角形ABC的重心G的坐标是_.5.求平面法向量的方法：设是平面的一个法向量，AB、CD是平面内的两条相交直线，则,由此求出一个法向量.【经典例题】例1、如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以

3、下各向量： （1）；（2）；（3）+.练习：已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1） （2） （3）例2、已知点（1） 点关于平面的对称点为_（2） 点关于平面的对称点为_（3） 点关于平面的对称点为_（4） 点关于轴的对称点为_（5） 点关于轴的对称点为_（6） 点关于轴的对称点为_（7） 点关于原点的对称点为_例3、设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系（其中x+y+z=1）试问：P、A、B、C四点是否共面？例4、（1）若A(0，2，)，B(1，-1，)，C(-2，1，)是平面内三点，设平面的法向量a=(x,y,z),则= _

4、 .（2）已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是 _ （写出一个即可）例5、如图，在空间四边形中，求与的夹角的余弦值. 【课后作业】1、在下列命题中：若、共线，则、所在的直线平行；若、所在的直线是异 面直线，则、一定不共面；若、三向量两两共面，则、三向量一定也共面；已知三向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 其中正确命题的个数为 （ ）A0 B1 C2 D32、已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与 一定共面的是 （ ） 3、已知向量，使成立的x与使成立的x分别为（ ）A B-6 C-6, D6,- 4、已知（2，1，3）

5、，（1，4，2），（7，5，），若、三向量共 面，则实数等于 （ ）A B C D 5、已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则BC边上的 中线长为 （ ）A2 B3 C4 D56、若A，B，C，则ABC的形状是（ ）A不等边锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形7、在空间直角坐标系O中,点P(2,3,4)在平面内的射影的坐标为 _ ; 点P(2,3,4)关于平面的对称点的坐标为 _ ;8、已知点是的重心，是空间中任一点，若，则的值为_.9、已知向量，在方向上的射影是_.10、已知力=(1,2,3)，(-2,3,-1)，(3,-4,5)，若，

6、共同作用于同一物体上，使物体从M1(0，-2，1)移到M2(3，1，2)，则合力作的功为 立体几何 空间向量的应用【知识梳理】1、四点共面的证明：M、A、B、P四点共面的充要条件是2、直线的方向向量是，平面的法向量是平面内不共线向量，/_；/_；/_._；_；_.3、空间的角的计算：线线角：求方向向量的夹角或其补角，即cos=.线面角：sin=.二面角：求法向量的夹角或其补角，即cos=.4、空间的距离的计算：（平面的法向量为）两点间的距离的计算：基向量法或两点间的距离（坐标）公式：_.点到平面的距离的计算：直线AB与平面交于点A，则点B到平面的距离=.异面直线的距离的计算：若a、b是两异面直

7、线，是a和b 的法向量，点Ea，Fb，则异面直线 a与b之间的距离是. .直线到平面的距离和平面与平面间的距离的求法：转化成点面距离.【典型例题】例1、如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上,PDA=60.(1)求DP与CC所成角的大小; (2)求DP与平面AADD所成角的大小.例2、在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC， SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示.求点B到平面CMN的距离.例3、如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1， M是线段EF的中点. 求证：（1）AM平面BDE；（2

8、）AM平面BDF.【能力提升】例4、如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值例5、如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD.四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设ABAP.若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长；在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到P、B、C、D的距离都相等？说明理由例6、如图16，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求