第01讲全等三角形W

1、第1讲 全等三角形数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论。 陈省身知识方法扫描1. 全等三角形的基本判定方法有“边角边”，“角边角”，“边边边”三种。 证明两个三角形全等的关键是证明它们满足判定方法中的三个条件，具体的分析步骤是：先找出这两个三角形中已知或容易证明的对应的角或边来，然后根据判定方法来确定还需要证明哪些角或边相等，再设法证明这些角或边相等。 在证题的过程中，要注意防止“角角边”这种错误。但是直角三角形可以用“斜边，直角边”来判定全等。2根据全等三角形的性质，它们的对应边，对应角，对应线段（角平分线，中线，高）都对应相等。我们常用全等三角形来证明线段或角的相等，

2、线段或角的和差倍分等问题，还可以用来证明直线的垂直或平行问题 3角平分线上的点，到角的两边距离相等；到角的两边距离相等的点，在角的平分线上。4 三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫做三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等。经典例题解析例1 （1996年河南省初中数学竞赛试题，1994年南京市数学竞赛试题）如图所示，已知BD，CE分别是ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。求证：（1）AP=AQ；（2）APAQ。分析 要证明AP= AQ，可考虑用全等三角形对应边相等来证，即考虑它们分别在哪两个三角形内，可以看出它们分别在AEQ和ADP

3、内，或在ACQ和PBA内，而前者只有一个直角相等，后者有两对边分别相等：CQ = AB，BP= AC故只要寻求两边所夹的角是否相等即可，证明（1）因BD，CE分别是ABC的边AC和AB上的高，故ACQ=90-BAC=PBA。在ACQ与PBA中， AC=PB，ACQ=PBA，CQ=BA，于是ACQPBA，从而AQ=AP。（2）由ACQPBA，知CAQ=BPA，于是QPA=CAQ+DAP=BPA+CAQ=90，所以APAQ。评注 证明线段互相垂直问题往往可转化为计算角的度数或证明角相等问题，从而利用全等三角形对应角相等证明例2（2003年重庆市初中数学竞赛决赛试题）如图，AE是中外角的平分线，E为

4、AE上不同于A的一点，则下列关系成立的是（） （A）AB+ACBE+EC（C）AB+AC=BE+EC （D）不能确定解 A在BA的延长线上截取AD=AC,连结DE,在ADE与ACE中，AD=AC，DAE=CAE，AE=AE，所以ADEACE, 于是ED=EC,从而AB+AC=AB+ADb, 自C作CEAB，CFAD, E,F为垂足。因对角线AC平分DAB，有CE=CF。 又BC=DC，于是RtCEBRtCFD，B=CDF, ADC+B=ADC+CDF=180;(2) 当a与b满足a=b 且B=90 时，显然有D+B=180。同步训练一 选择题1（2001年北京市初中数学竞赛试题）下面有四个命题

5、：两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等 两个三角形的三条边对应相等，则这两个三角形全等 两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形全等其中真命题是（ ）（A），（B），（C），（D），2（1996年希望杯数学邀请赛试题）如图，已知ABCD，ADBC，AC与BD交于O，AEBD于E，DFBD于F，那么图中全等的三角形有（ ）（A）5对（B）6对（C）7对（D）8对3. (1995年江苏省初中数学竞赛试题)如图,在ABC中,BAC的平分线交BC于D,AC=AB+BD,C=30,那么ABC的度数为( )。A.45; B.60; C.75

6、; D.90。 D 4（1997年希望杯数学邀请赛试题）ABC中，AB5，AC3，则BC边上的中线AD的长l的取值范围是（ ）A1l4 B3l5 C2l3D0l55（2003年武汉市初中数学竞赛选拔赛试题）如图，在ABC中，ABC=60，AD，CE分别平分BAC，ACB。则AC的长与AE+CD的关系为（ ）。（A）ACAE+CD （B） AC=AE+CD （C） ACAE+ED （D）无法确定二 填空题6（1999年第十届“希望杯”全国数学竞赛试题）如果一个三角形的两条角平分线又是它的两条高线，那么这个三角形的形状是 7（1997年重庆市初二数学竞赛试题）在四边形ABCD中，ADBC，E是AB

7、的中点，DCE的面积为S，则ABCD的面积为 。8（1994年北京市初二数学竞赛试题）ABC中，C=90, A=,以C为中心将ABC旋转角到A1B1C的位置（旋转过程中ABC的形状保持不变）. B点恰好A1B1上（如图），试用表示旋转角： 。9（1998年上海市初中数学竞赛试题）如图, AC平分BAD, CMAB, 且ABAD2AM, 那么ADCABC_. 10若ABC中，D，E是AB边上的两点，AD=EB，则AC+BC与CD+CE的大小关系是 。三 解答题11（1996年 湖北省荆沙市初二数学竞赛试题）在ABC中，ACB=90, AC=CB，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE

8、=BD，求证：BD是ABC的平分线。12（1998年四川省初中数学竞赛试题）如图，在ABC中，AB=AC，直线l 过A且lBC，B的平分线与AC和l分别交于D,E; C的平分线与AB和l分别交于F,G。求证 DE=FG.13（2003年首届创新杯数学邀请赛试题）如图，已知ABC中，BAC=90,四边形ABDE,BCFG是两个正方形,AB的延长线交DG于P，求证： AC=2BP14（1993年第4届希望杯全国数学邀请赛试题）如图, 三所学校分别记作A、B、C, 体育场记作O, 它是ABC的三条角平分线的交点, O、A、B、C每两地之间有道路相连, 一支长跑队伍从体育场O出发, 跑遍各校再回到O点, 指出哪条路线跑的距离最短.(已知ABBCAC)并说明理由。15（2004年江苏省第19届初中数学竞赛试题）下列4个判断：（1） 有两边及其中一边上的高