第09讲配凑法(高中版

1、第 09 讲 配凑法(高中版) （第课时）神经网络准确记忆！重点难点好好把握！重点：1；2；3。难点：1；2；3；。考纲要求注意紧扣！1；2；3。命题预测仅供参考！1；2；3。考点热点一定掌握！所谓“配凑”指的是利用恒等变形的方法，把一个解析式中的某些项配凑我们所需要的形式，用得最多的是配成完全平方式。它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式以及最值、数列等等方面都经常用到它。常用的基本配凑形式如下：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbc

2、ca)(abc)2(abbcca)1sin212sincos（sincos）；x(x)2(x)2 ； 等等。常用的基本配凑策略如下：把结论（或等式左边）变形，凑出题设（或等式右边）形式，以方便利用已知条件。把题设（或等式左边）变形，凑出结论（或等式右边）形式，以从中推出结论。把题设（或等式左边）先变形，再把结论（或等式右边）变形，凑出变形后的题设（或等式左边）形式。1配凑法在化简求值中的应用例.（高一）设 ，求 的值。解：设 ，则由已知可得 ，而 。点评：本题是把把题设（或等式左边）先变形，再把结论（或等式左边）变形，凑出变形后的题设（或等式右边）形式。2配凑法在恒等式和不等式证明中的应用3配

3、凑法在方程中的应用例.（高二）设方程xkx2=0的两实根为p、q，若()+()7成立，求实数k的取值范围。解：方程 xkx2=0 的两实根为p、q，由韦达定理得：pqk，pq2 ,()+()7， 解之得 k 或 k 。又因为 p、q为方程xkx2=0的两实根， k80 即 k2 或 k2 ，综上所述，k的取值范围是：k 或 k。点评：关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成pq与pq的组合式。假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉

4、对“”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。4配凑法在二次函数中的应用例.（高一）函数ylog (2x5x3)的单调递增区间是_。 A. （, B. ,+) C. (, D. ,3)解：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5配凑法在数列中的应用例.（高三）求和 。分析：通分、拆项等技巧对本题均不适用，我们在进行分式运算时曾用过“逐项累加”的技巧，受此启发，如果把原题再配上一项，就可以进行累加了。解：原式点评：本题通过添项凑出能逐项累加的形式。6配凑法在复数中的应用例.（高三）设非零复数a、b满足 aabb=0 ，求()() 。分析: 把已

5、知式两边同时除以b变形为 ()()10 ，则 （为1的立方虚根），再把已知式配方为(ab)ab ，把二者代入所求式即可得解。解法一: 把 aabb=0 变形为 ()()10 ，设，则10 ，可知为1的立方虚根，所以 ，1 ，又由 aabb=0 变形得：(ab)ab ，所以 ()()()()()()2 。点评：本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。如果未联想到 ，可以用下面的解法：解法二：把aabb0变形为 ()()10 ，解出 后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()() ，再完成后面

6、的运算。解法三：假如本题没有想到以上一系列变换过程，还可由aabb0解出 ab ，代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。7配凑法在三角中的应用例.（高一）求证： 。解：左边右边点评：本题是把等式左边变形，凑出等式右边的形式（凑出右边的分母）。8配凑法在立体几何中的应用例.（高二）已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_。 A. 2 B. C. 5 D. 6分析：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。解：设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为

7、11，其12条棱的长度之和为24”而得：。长方体所求对角线长为：5所以选B。点评：本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。9配凑法在解析几何中的应用例.（高三）方程xy4kx2y5k0表示圆的充要条件是_。 A. k1 B. k1 C. kR D. k或k1解：配方成圆的标准方程形式(xa)(yb)r，解r0即可，选B。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！123456789因式分解化简求值恒等式证明不等式证明方程二次函数数列复数三角立体几何解析几何1.（高一）若 ，试求 的值。解：

8、，由 可得 ， 。点评：本题关键在于把结论变形，使之出现条件的形式。但本题并不能用题设的形式来全部表示结论，只是化简结论， 使其后的计算变得比较简单。2.（高三）已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，求实数a 。答案：3。CByAxO图1113.（高一）如图：开口向下的抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A在x轴的正半轴，点B在x轴的负半轴，点C在y轴的正半轴，且BO=OC。（1）求证：4aac=1；（2）如果点A的坐标为（2，0），求点B的坐标（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。答案：（1）略 （2）B（6，0） （3）存在 P（2，4）4.（高三）在正项等比数列a中，asa+2asa+aa=25，则 aa_。解：利用等比数列性质aaa，将已知等式左边配方（aa）后易求。答案是：5。 5.（高三）求 5-12i的平方根。提示：使用配方法。结果为 6.（高一）已知 ，求 的值。解：由 可知 ， 。点评：本题是把结论变形，凑出题设形式。7.（高一）设 , 求 的值。解： 。点评：本题是把结论变形，凑出题设形式。8.（高一）已知sinc