第1讲函数的图象与性质

1、第1讲函数的图象与性质【自主学习】第1讲函数的图象与性质(本讲对应学生用书第3134页)自主学习回归教材1. (必修1 P28例6改编)画出函数f(x)=x2+1的图象，若0x1x2，则f(x1)f(x2).【答案】0时，f(x)=1，则函数y=f(x)的解析式为.【答案】f(x)=【解析】由于y=f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0.当x0，所以f(-x)=1=-f(x)，即f(x)=-1，所以f(x)=5. (必修1 P53拓展15改编)若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则函数f(x)是函数.【答案】奇【解析】令x=y=0，得f(0)=0，再令y=-x，得f(-x)=

2、-f(x)，即函数f(x)是奇函数.【要点导学】要点导学各个击破函数的单调性与奇偶性例1(2014南通一模)已知a为实常数，y=f(x)是定义在(-，0)(0，+)上的奇函数，且当x0恒成立，求实数a的取值范围.【分析】(1) 由奇函数的性质研究函数的单调区间，只需研究在区间(-，0)上的单调性即可，然后根据对称性即可得；(2) 先求出在x0时f(x)的表达式，然后就a进行讨论求解.【解答】(1) 由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在(-，0)上的单调性即可.对y=f(x)求导，得f(x)=2+，令f(x)=0，得x=-a.当a0时，f(x)0，故f(x)在区间(-，0)上单调递增.当

3、a0时，x(-，-a)，f(x)0，所以f(x)在区间(-，-a)上单调递增；x(-a，0)，f(x)0时，f(x)的单调增区间为(-，-a)，(a，+)，单调减区间为(-a，0)，(0，a).(2) 因为f(x)为奇函数，所以当x0时，f(x)=-f(-x)=-=2x+-1.当a0恒成立，即2x+a对一切x0恒成立.而当x=-0时，有-a+4aa，所以a0，则与a0矛盾，所以a-1=a-1对一切x0成立，故a=0满足题设要求.当a0时，由(1)可知f(x)在(0，a)上是减函数，在(a，+)上是增函数，所以f(x)min=f(a)=3a-1a-1，所以a0时也满足题设要求.综上所述，a的取值

4、范围是0，+).【点评】(1) 单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法.(2) 函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性.利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的性质，是简化问题的一种途径.变式(2015启东中学)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1) 求实数a，b的值；(2) 求证：函数f(x)在R上是减函数；(3) 若对任意的tR，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立，求实数k的取值范围.【解答】(1) 因为f(x)是R上的奇函数，故f(0)=0

5、，即=0，解得b=1，从而有f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知=-，解得a=2，所以f(x)=，所以a=2，b=1.(2) 任取x1x2，f(x1)-f(x2)=-=.因为x10，所以f(x1)f(x2)，故f(x)是R上的减函数. (3) 由(2)知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0等价于f(t2-2t)-2t2+k，即对一切tR有3t2-2t-k0恒成立，从而=4+12k0，解得k-.所以实数k的取值范围是.函数图象的识别与应用例2已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图象过点(1，13)，且函数对称轴方程为x=-.(1)

6、求函数f(x)的解析式.(2) 设函数g(x)=f(x)-x2-13|x|，求g(x)在区间t，2上的最小值H(t).(3) 探究：函数y=f(x)的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数?如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.【分析】(1) 根据函数对称轴方程为x=-求得b的值，再由f(x)=x2+bx+c的图象过点(1，13)，求出c的值，从而求得f(x)的解析式；(2) 由题意可得 g(x)=(x-2)|x|，画出它的图象，讨论t的范围，结合图象求出g(x)在t，2上的最值.(3) 如果函数y=f(x)的图象上存在符合要求的点，设为P(m，n

7、2)，从而4n2-(2m+1)2=43，由此求得m，n的值，从而得出结论.【解答】(1) 因为f(x)=x2+bx+c的对称轴方程为x=-，所以b=1. 又f(x)=x2+bx+c的图象过点(1，13)，所以1+b+c=13，解得c=11.所以f(x)=x2+x+11. (2) 由(1)得，g(x)=(x-2)|x|=结合图象可知：当1t2时，g(x)min=t2-2t；当1-t1时，g(x)min=-1；当t2n-(2m+1)，2n+(2m+1)0，所以因此，函数y=f(x)的图象上存在符合要求的点，它的坐标为(10，121). 【点评】(1) 解决“由式作图”问题主要是将解析式进行化简，然

8、后与一些熟知的函数图象相联系，通过各种图象变换得到要求的函数图象.(2) 根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法.变式已知函数f(x)=|x2-4x+3|.(1) 求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(2) 若关于x的方程f(x)-a=x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围.【解答】由题设知f(x)=作出f(x)的图象如图所示.(变式)(1) 由图知f(x)的增区间为1，2，3，+)， 减区间为(-，1，2，3.(2) 原方程变形为|x2-

9、4x+3|=x+a.设y=x+a，在同一坐标系下作出y=x+a的图象如图所示，则当直线y=x+a过点(1，0)时a=-1；当直线y=x+a与抛物线y=-x2+4x-3相切时，联立消去y，得x2-3x+a+3=0.由=9-4(3+a)=0，得a=-.由图象知当a时方程至少有三个不相等的实根.函数的零点问题例3已知函数f(x)=a-ln x(aR).(1) 若a=2，求函数f(x)在(1，e2)上的零点个数(e为自然对数的底数)；(2) 若f(x)恰有一个零点，求实数a的取值集合.【分析】(1) 对确定的函数进行求导，从而确定f(x)在(1，e2)上单调递减，然后利用零点定理进行判断；(2) 先行

10、进行函数单调性的判断，然后结合图象，利用函数的零点定理进行判断，判断时可通过特殊点f(ea)，f(e-a)的值进行判断.【解答】(1) 由题设得，f(x)=，故f(x)在(1，e2)上单调递减，所以f(x)在(1，e2)上至多只有一个零点.又f(1)f(e2)=11时，f(x)0，f(x)在(1，+)上单调递减；当0x0，f(x)在(0，1)上单调递增，故f(x)max=f(1)=a-1. 当f(x)max=0，即a=1时，因为最大值点唯一，故符合题设.当f(x)max0，即a1时，f(x)0，即a1时，一方面，ea1，f(ea)=-0；另一方面，e-a1，f(e-a)=2a-eaea-ea0

11、(易证：exex)，于是f(x)有两个零点，不合题设.综上，a的取值集合为1. 【点评】求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解.本题第(1)问，第(2)问是证明零点问题，分离参数，数形结合等方法是目前大多学生采用的解题方法.变式(2015海门中学)设函数f(x)在(-，+)上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间0，7上只有f(1)=f(3)=0.(1) 试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2) 试求方程f(x)=0在闭区间-2 0

12、15，2 015上的根的个数，并证明你的结论.【解答】(1) 因为f(1)=0，且f(x)在0，7上只有f(1)=f(3)=0，又因为f(2-x)=f(2+x)，令x=-3，得f(-1)=f(5)0，所以f(-1)f(1)，且f(-1)-f(1).所以f(x)是非奇非偶函数.(2) f(10+x)=f(2+8+x)=f2-(8+x)=f(-6-x)=f7-(13+x)=f(7+13+x)=f(20+x)，所以f(x)是以10为周期的周期函数.又由f(x)的图象关于x=7对称知，f(x)=0在(0，10)上有两个根，则f(x)=0在(0，2 015上有2022=404个根；在-2 015，0上有

13、2012=402个根.因此，方程f(x)=0在闭区间-2 015，2 015上共有806个根.1. (2015全国卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1 (m为实数)为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为.【答案】cab【解析】因为函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数，所以m=0，即f(x)=2|x|-1，所以a=f(log0.53)=f=-1=-1=3-1=2，b=f(log25)=-1=4，c=f(2m)=f(0)=20-1=0，所以cacba，则abcd的取值范围是.【答案】(21，24)【解析】画出函数f(x)

14、的图象如图所示，由图象可知0a1，1b3，则f(a)=|log3a|=-log3a，f(b)=|log3b|=log3b，因为f(a)=f(b)，所以-log3a=log3b，所以ab=1.因为1b3，f(b)=f(c)=f(d)，所以0f(c)=f(d)1，由0x2-x+81，得3x4或6x7，由于cd，且二次函数y=x2-x+8的图象的对称轴为x=5，故3c1，即a1也满足题意，所以a的取值范围为(-，-1)(1，+).(第4题)【融会贯通】完善提高融会贯通典例如图，设函数f(x)=x+(aR)的定义域为(0，+)，且f(2)=.设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的

15、垂线，垂足分别为M，N.(典例)(1) 写出f(x)的单调减区间(不必证明)；(2) 设点P的横坐标x0，求点M的坐标(用x0的代数式表示)；(3) 设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.【思维引导】(1) (2) (3) 【规范解答】(1) 因为函数f(x)=x+的图象过点A，所以=2+，解得a=1，所以f(x)=x+，4分所以函数f(x)的单调减区间是(0，1). (2) 设P，由题知直线PM的斜率为-1， 6分则直线PM的方程为y-=-(x-x0)， 8分联立解得点M.12分 (3) 由(2)及题意知PM=，OM=，所以SOPM=.又由题知点N的坐标为N，所以SOPN=x0=+，

16、14分所以S四边形OMPN=SOPM+SOPN=+1， 由基本不等式可知S四边形OMPN1+， 当且仅当x0=时等号成立，所以四边形OMPN面积的最小值为1+.16 分变式1(必修1 P43习题7改编)求证：函数f(x)=x+在区间(0，1上是单调减函数，在区间1，+)上是单调增函数.【解答】对函数f(x)=x+求导，得f(x)=1-，当x(0，1时，f(x)0.故函数f(x)在区间(0，1上是单调减函数，在区间1，+)上是单调增函数.变式2讨论函数f(x)=x+(aR)的单调性.【解答】易知函数f(x)是奇函数，当a0时，可知函数在(0，)，(-，0)上单调递减，在(，+)，(-，-)上单调

17、递增.当a0时，函数f(x)在R上单调递增.变式3(2015嘉兴模拟)已知函数f(x)=x+(x0).(1) 若a0，且当x1，3时不等式f(x)2恒成立，求实数a的取值范围.【解答】(1) 若a0，任取x1，x2(0，+)，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(x1-x2). 因为x1-x20，所以f(x1)-f(x2)0，即f(x1)0，则f(x)在(0，)上单调递减，在(，+)上单调递增.若0a1，则f(x)在1，3上单调递增，f(x)min=f(1)=1+a，所以1+a2，即a1，所以a=1.若1a9，则f(x)在1，上单调递减，在，3上单调递增，f(x)min=f()=2，所以22

18、，即a1，所以1a0)有如下性质：如果常数a0，那么该函数在(0，)上是减函数，在(，+)上是增函数.(1) 如果函数y=x+(x0)的值域为6，+)，求实数b的值；(2) 研究函数y=x2+(常数c0)在定义域内的单调性，并说明理由；(3) 对函数y=x+和y=x2+(常数c0)作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性(只须写出结论，不必证明).【解答】(1) 由已知可知函数y=x+(x0)在x=处取得最小值2，因为函数的值域为6，+)，所以令2=6，得b=log29.(2) 设t=x20，显然函数y=t+在(0，上是减函数，在，+)上是增函数.令x2，得-x.令x

19、2，得x或x-.又因为t=x2在(-，0上是减函数，在0，+)上是增函数，于是函数y=x2+在(-，-，(0，)上是减函数，在-，0)，+)上是增函数.(3) 推广结论：当n是正奇数时，函数y=xn+(常数a0)是奇函数，故在(-，-，+)上是增函数，在-，0)，(0，上是减函数.而当n为正偶数时，函数y=xn+(常数a0)是偶函数，在(-，-，(0，)上是减函数，在-，0)，+)上是增函数.【点评】本题设计新颖，层层递进，主要考查函数y=xn+的单调性、最值，考查分析解决问题的能力.需要的是一种严密的推理能力.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第19-2

20、0页.【课后检测】专题四函数与导数第1讲函数的图象与性质一、填空题1. (2015苏州调研)已知函数y=log2为奇函数，则实数a的值为.2. 若函数f(x)=mx2+x+5在-2，+)上是单调增函数，则实数m的取值范围是.3. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)=.4. (2015南师附中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且在0，2上，f(x)=那么f+f=.5. (2015海安中学)已知奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)=.6. 已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x0，1时

21、，f(x)=x，若在区间-1，3内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是.7. (2015南京调研)若f(x)=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是.8. (2015苏州期末)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-2x恰有3个不同的零点，则实数m的取值范围是.二、 解答题9. 已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x0，+)时，f(x)=x2-2x.(1) 写出函数y=f(x)的解析式；(2) 若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围.10. 已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)=1，g(1)=1.(1) 求函数

22、f(x)，g(x)的解析式；(2) 判断函数h(x)=f(x)+g(x)的奇偶性；(3) 求证：函数S(x)=xf(x)+g在(0，+)上是单调增函数.11. 记满足如下3个性质的函数为“型函数”：对任意a，bR，都有g(a+b)=g(a)g(b)；对任意xR，g(x)0；对任意x0，g(x)1 .(1) 若函数y=g(x)为“型函数”，求g(x)g(-x)的值； (2) 若函数y=g(x)为“型函数”，求证：当x0时，g(x)0时，由对称轴可知-2，即m；当m0时，不满足.综上，实数m的取值范围是.3. 0【解析】由已知等式得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的

23、周期函数，所以f(6)=f(2).由f(x+2)=-f(x)，得f(2)=-f(0).因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，所以f(6)=0.4. 【解析】由f(x+4)=f(x)，可得函数的周期是4，所以f=f=f，因为f(x)是奇函数，所以f=-f=-=-；f=f=f=-f=-sin =sin =，则f+f=-=.5. 1【解析】因为f(x+2)为偶函数，f(x)是奇函数，所以可设g(x)=f(x+2)，则g(-x)=g(x)，即f(-x+2)=f(x+2).因为f(x)是奇函数，所以f(-x+2)=f(x+2)=-f(x-2)，即f(x+4)=-f(x)，f(x+8)=f(x+4

24、+4)=-f(x+4)=f(x)，则f(8)=f(0)=0，f(9)=f(1)=1，所以f(8)+f(9)=0+1=1.6. 【解析】当x-1，0时，-x0，1，所以f(-x)=-x=f(x).因为周期为2，所以根据数形结合有即0k.故实数k的取值范围是.7. 【解析】因为当x0且-1+3aa，解得a.8. (1，2【解析】方法一：问题转化为g(x)=0，即方程f(x)=2x有3个不同的解，即或解得或或因为方程f(x)=2x有3个不同的解，所以解得1m2.(第8题)方法二：由题意知函数g(x)=画出函数y=4-2x和y=x2+2x-3的图象如图所示，可知函数g(x)的三个零点为-3，1，2，因此可判断m在1与2之间.当m=1时，图象不含点(1，0)，不合题意；当m=2时，图象包含点(2，0)，符合题意，所以1m2.9. (1) 当x(-，0)时，-x(0，+)，因为y=f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2-2x，