第28讲区间套定理

1、第28讲 上（下）确界与区间套定理授课题目上（下）确界与区间套定理教学内容1. 数集合的上（下）界，2. 数集合的上确界和下确界，3. 确界原理；4. 区间套定理及应用；教学目的和要求通过本次课的教学，使一般的学生能够了解区间套定理，了解实数集合的有界性和确界概念；使对较好学生能够地掌握区间套定理及应用，理解实数集合的有界性和确界概念，会证明一些具体数集合的确界问题教学重点及难点教学重点：重点是区间套定理；教学难点：确界概念和确界原理.教学方法及教材处理提示(1)复习中学的有关实数的知识(2)本讲的重点是区间套定理及其推论，明确区间套所确定的点就是区间列端点所对应数列和的极限.(3)应用区间套

2、定理及其推论来证明数列收敛的柯西准则，讲清讲透，使较好的学生能掌握.(4)本讲的难点是确界概念和确界原理不可强行要求一步到位，对较好学生可只布置证明具体集合的确界的习题作业布置作业内容：教材:2;4(3,4);5；7。讲授内容 一、 有界集.确界原理 定义1 设为R中的一个数集若存在数M(L)，使得对一切，都有M(L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)若数集既有上界又有下界，则称为有界集若不是有界集，则称为无界集 例1 证明数集为正整数有下界而无上界 定义2 设是R中的一个数集若数满足： （i）对一切，有，即是的上界； （ii）对任何存在，使得即又是的最小上界则

3、称数为数集的上确界，记作 定义3 设是R中的一个数集若数满足： （i）对一切，有，即是的下界 （ii）对任何，存在，使得即又是的最大下界，则称数为数集的下确界，记作 上确界与下确界统称为确界 例1 设为区间中的有理数.试按上、下确界的定义验证： 解：先验证 （i）对一切，显然有即是的上界 ii对任何，若，则任取都有；若，则由有理数集在实数集中的稠密性，在中必有有理数即存在，使得类似地可验证 注1 由上(下)确界的定义可见，若数集存在上(下)确界，则一定是唯一的又若数集存在上、下确界，则有数集S的确界可能属于，也可能不属于 定理1.1(确界原理) 设为非空数集若有上界，则S必有上确界；若有下界，

4、则必有下确界 证明略例2 设为非空数集，满足：对一切和有证明：数集有上确界，数集下确界，且. 证：由假设，数集中任一数都是数集的上界，中任一数都是的下界，故由确界原理推知数集有上确界，数集有下确界 现证不等式，对任何，是数集的一个上界，而由上确界的定义知，是数集的最小上界，故有而此式又表明数是数集的一个下界，故由下确界定义证得 二、区间套定理与柯西收敛准则定义1 设闭区间列具有如下性质：（）， ；（） ，则称为闭区间套，或简称区间套。 这里性质（）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式： （1） 定理7.1（区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯

5、一的一点，使得，即， （2） 证：由（1）式，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有 （3）同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（）有 ， （4）且 （5）联合（3）、（5）即得（2）式。 最后证明满足（2）的是唯一的。设数也满足 则由（2）式有 由区间套的条件（）得 ，故有 由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质： 推论 若是区间套所确定的点，则对任给的0，存在N0，使得当N时有 注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开区间列，如，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且，但不存在属于所有开区间的公共点. 作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的“数列的柯西收敛准则”（定理2.10）. 定理2.10数列收敛的充要条件是:对任给的,存在,使得对有. 证：必要性 设.由数列极限定义,对任给的,存在,当时有 因而 充分性 按假设,对任给的,存在,使得对一切有,即在区间内含有中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“中几乎所有的项”表示“中除有限项外的所有项”). 据此,令,则存在,在区间内含有中几乎所有的项.记这个区间为.再令，则存在，在区间内含有中几乎所有的项记，它也含有中几乎所有的项，且满足继续依次令照以上方法得一闭区间列，其中每个