第29讲聚点定理

1、第29讲 聚点定理与有限覆盖定理授课题目聚点定理与有限覆盖定理教学内容1. 聚点概念，2. 聚点定理，3. 有限覆盖定理教学目的和要求通过本次课的教学，使一般的学生能够了解聚点概念、聚点定理与有限覆盖定理；使较好的学生能够理解聚点概念及其等价定义、能够掌握聚点定理及其简单应用.教学重点及难点教学重点：重点是聚点定理；教学难点：聚点定理与有限覆盖定理.教学方法及教材处理提示(1) 本讲的重点是聚点概念和聚点定理通过实例讲清聚点概念的内涵和实质，使较好学生能够理解聚点概念等价定义；不可强行要求一步到位，对多数学生只能要求他们了解聚点概念；(2) 聚点定理的证明过程是区间套定理应用的一个典范，应采用

2、边讲边练的授课方式，使较好学生得到一次很好的数学素养熏陶；(3)有限覆盖定理是教学难点，只要求学生了解定理的内容.作业布置作业内容：教材:5，6.讲授内容一、 聚点定理与有限覆盖定理 定义2 设S为数轴上的点集，为定点(它可以属于S，也可以不属S)的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点 例如，点集有两个聚点和；点集只有一个聚点；又若S为开区间，则内每一点以及端点、都是S的聚点；而正整数集没有聚点，任何有限数集也没有聚点 聚点概念的另两个等价定义如下： 定义2 对于点集S，若点的任何邻域内都含有S中异于的点，即，则称为S的一个聚点 定义2” 若存在各项互异的收敛数列，则其极限称

3、为S的一个聚点关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下定义2定义2是显然的，定义2” 定义2也不难得到；现证定义2 定义2”设为S(按定义2)的聚点，则对任给的，存在令，则存在；令，则存在，且显然；令，则存在，且互异。 无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列，且由，易见。 下面我们应用区间套定理来证明聚点定理 定理72 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点 证 因S为有界点集，故存在，使得，记 现将等分为两个子区间因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，记此子区间为，则且 再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子

4、区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为，则，且 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列，它满足, 即是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点 由区间套定理，存在唯一的一点，于是由定理71的推论，对任给的，存在，当时有从而内含有S中无穷多个点，按定义2，为S的一个聚点 推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列 证 设为有界数列若中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的. 若不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少有一个聚点，记为。则存在的一个收敛子列(以为其极限). 作为致密性定理的

5、应用，我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性. 证 设数列满足柯西条件先证明是有界的为此，取则存在正整数N，当m=N+1及nN时有 由此得=.令 M=max则对一切正整数n均有 于是，由致密性定理，有界数列必有收敛子列设=A对任给的0，存在K0，当m,n,kK时，同时有 (由柯西条件)， 因而当取m=n()时，得到 这就证明了. 定义3 设S为数轴上的点集，H为开区间的集合(即H的每一个元素都是形如()的开区间)若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S若H中开区间的个数是无限(有限)的，则称H为S的一个无限开覆盖(有限开覆盖) 在具体问题中，一个点集的开

6、覆盖常由该问题的某些条件所确定例如，若函数f在（a,b）内连续，则给定0，对每一点x(a,b)，都可确定正数(它依赖于与x)，使得当(x;)时有这样就得到一个开区间集 H=它是区间(a,b)的一个无限开覆盖 定理73 (海涅一博雷尔(HeineBorel)有限覆盖定理) 设H为闭区间的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖 证 用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用中有限个开区间来覆盖 将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖记这个子区间为，则，且 再将等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖记这个子区间为，则，且重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列，它满足 ，即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖 由区间套定理，存在唯一的一点，由于H是，的一个开覆盖，故存在开区间，使由定理推论，当充分大时有 这表明只须用H中的一个开区间就能