第2讲排列与组合

1、第2讲排列与组合考点梳理1排列与排列数(1)排列的定义：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示(3)排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)，其中n，mN*，且mn.(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，An(n1)(n2)21n！.排列数公式写成阶乘的形式为A，这里规定0！1.2组合与组合数(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个

2、不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示(3)组合数的计算公式：C，由于0！1，所以C1.(4)组合数的性质：CC；CCC.解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中

3、；(5)分排问题直接处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列组合数公式的两种形式组合数公式有两种形式，(1)乘积形式；(2)阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算注意公式的逆用即由写出C.考点自测18名运动员参加男子100米的决赛，已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有_种2若甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天

4、中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有_种3某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有_种4如图，将1,2,3填入33的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有_种1233122315某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是_(用数字作答)考向一排列问题【例

5、1】 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起；(4)全体排成一行，男、女各不相邻；(5)全体排成一行，男生不能排在一起；(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；(7)排成前后两排，前排3人，后排4人；(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人【训练1】 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间考向二组合问题【例2

6、】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选【训练2】 已知甲、乙两人从4门课程中各选修2门(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？考向三排列、组合的综合应用【例3】 将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法

7、？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？【训练3】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本有限制条件的排列、组合问题在高考中，主要考查用排列、组合知识解决实际问题注重对学生理解、分析和解决问题的能力及分类讨论思想的考查【示例】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这

8、3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_高考经典题组训练1一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为_(用阶乘表示)2某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有_种3由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是_4给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_种(结果用数值表示)123456

9、5回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22,121,3 443,94 249等显然2位回文数有9个：11,22,33，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN)位回文数有_个基础达标演练一、填空题1某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单，那么不同插法的种数为_2 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为_种32010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其

10、中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有_种4某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有_种5有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有_种(用数字作答)6将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有_种二、解答题7在10名演员中5人能歌8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？8某医院有内科医生

11、12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？分层训练B级1甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)2某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有_种不同的调度方法(填数字)3 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是_4以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有_个5在m(m2)个不同数的排列p1p2pm中，若1ijm时pipj(即前面某数大于后面某数)，则称pi与pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数记排