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文档简介

1、第42讲 柯西不等式与排序不等式及应用【考点解读】1. 认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题；2. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.【知识扫描】1. 柯西（Cauchy）不等式 等号当且仅当或时成立（k为常数，）2. 排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:;.是，的任一排列,则有 + (同序和)+ (乱序和)+ (反序和) 当且仅当=或=时，反序和等于同序和.【考计点拔】牛刀小试： . 5 已知，求的最小值。参考答案：1A 2、B 33 4 5 5（凑配法）【典例解

2、析】柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：考点一：证明相关命题例1用柯西不等式推导点到直线的距离公式。 已知点及直线 设点p是直线上的任意一点， 则 （1） （2）点两点间的距离就是点到直线的距离，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得： 即 （3）当且仅当 （3）式取等号 即点到直线的距离公式即考点二：证明不等式例2：已知正数满足 证明 证明：利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：故考点三：解三角形的相关问题例3 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。考点四：求最值例4：已知实数满足， 试求的最值 解：由柯西不等式得，有即由条件可得， 解得，当且仅当 时等号成立，代入时， 时 考点五：利用柯西不等式解方程例5在实数集内解方程解：由柯西不等式，得 又即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得它与联立，可得 【变式训练1】 已知求证：。证明：由柯西不等式，得 当且仅当时，上式取等号， 于是 【变式训练2】解方程 【解析】： =

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