第7讲函数的奇偶性(艺考生专用

1、谨以此案赠送给有梦想的学子第七讲 函数的奇偶性知识精要1.规定：一个函数的图象关于轴对称，这个函数就是偶函数，一个函数的图象关于坐标原点对称，这个函数就是奇函数.观察上面五个函数的图象，指出哪些是偶函数，哪些是奇函数？思考：如果一个函数是偶函数，观察与的大小关系？ 如果一个函数是奇函数，观察与的大小关系？2.总结出函数奇、偶性的定义：偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就叫做偶函数奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么f(x)就叫做奇函数说明：奇、偶函数的定义域都关于轴对称，其图象也关于y轴对称. 如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函

2、数.如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.由定义知，判断一个函数的奇偶性时，其步骤如下：观察其定义域是否关于轴对称；求出，观察与是否相等，如果不等，将的解析式提取“-”号，再观察提取“-”号后的解析式是否与相等；根据定义作出判断，如果，则为偶函数，如果，则为奇函数.3.奇偶性的判断例1 判别下列函数的奇偶性：（1）； （2）；（3）； （4）.考考你：判别下列函数的奇偶性： （1）f(x)|x1|+|x1|； （2）f(x)x；（3）f(x)； （4）f(x)x, x-2,3.4.已知一个函数的奇偶性，怎样求参数的值.例2 已知函数为偶函数，则的值是（ ）A. B. C.

3、D. 说明：这类题目的解决的办法： 求出，如果条件是为偶函数，则使，比较对应系数相等，求出参数的值；如果条件是为奇函数，则使，比较对应系数相等，求出参数的值； 经验总结：如果为偶函数，则其解析式中奇次项的系数“等于0”，如果为奇函数，则其解析式中偶次项的系数“等于0”.该你大显身手了：若函数在上是奇函数,则的解析式为_.求函数y=为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。4.一个函数的奇偶性与单调性的关系：我们通过图像观察得知：如果一个函数是偶函数，它的单调性关于轴对称； 如果一个函数是奇函数，它的单调性在轴两侧相同.说明：解决这类题目，我们通常根据条件采取作简图的方法，完成题目.例3已知是偶函数

4、，且在,上是减函数，试判断在,上的单调性.例4 如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（ ）A.最大值 B.最小值 C.没有最大值D.没有最小值考考你：1若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A BC D2如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间 上是（ ）A增函数且最小值是 B增函数且最大值是C减函数且最大值是 D减函数且最小值是3.奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则_.5.利用函数的奇偶性，求函数的解析式例5已知定义在上的奇函数，当时，那么时， .说明：根据奇偶性条件求函数解析式，方法如下，求哪个区间上的解析式，就在哪个区间上设自变量；在前面添加

5、“-”号，发现在条件中给出的已知区间内，代入求出；根据奇偶性条件，找出与之间的关系，得到所求函数的解析式.考考你：设在R上是奇函数，当时，求当时，的表达式.已知是奇函数，是偶函数，且，求、. （提示：我们可以把看作是以，为未知数的二元方程，根据奇偶性条件，再建立一个以，为未知数的二元方程，两个方程联立便可求出，的解析式）6.根据奇偶性条件，解“抽象不等式”说明：解决这类题目，表面上看起来比较难，实际上却很容易，这是因为解决这类题目的方法是死板的，同学们只要在理解的基础上记着解题过程就行了，其解题步骤如下： 第一步：根据定义域结合“取代思想”列出不等式； 第二步：对原不等式进行变形，必须化成“与

6、”之间的关系； 第三步：最后根据单调性列出不等式，将这个不等式与之间的不等式联立，解这个不等式组，求出参数的取值.例5 已知函数的定义域是，且满足,如果对于,都有,（1）求；（2）解不等式。考考你：设定义在2,2上的偶函数在区间0,2上单调递减，若，求实数m的取值范围精选作业一、选择题1. 对于定义域是R的任意奇函数有（ ）.A BCD2. 已知是定义上的奇函数，且在上是减函数. 下列关系式中正确的是（ ）A. B. C. D.3. 下列说法错误的是（ ）. A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数，又是偶函数D.既不是奇函数，又不是偶函数4. 函数的奇偶性是 .5. 已知f(x)是奇

7、函数，且在3,7是增函数且最大值为4，那么f(x)在-7,-3上是 函数，且最 值为 .6已知函数f（x）ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则（）A，b0 Ba1，b0 Ca1，b0 Da3，b07已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x22x，则f（x）在R上的表达式是（）Ayx（x2） By x（x1）Cy x（x2）Dyx（x2）8已知，且f（2）10，那么f（2）等于（）A26B18C10D109设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（ ）A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数。10下列函数中,在区间上是增函数的是（ ）A B C D11函数是（ ）A是奇函数又是减函数 B是奇函数但不是减函数 C是减函数但不是奇函数 D不是奇函数也不是减函数二、填空题12设奇函数的定义域为，若当时， 的图象如右图,则不等式的解是 13函数的值域是_。14已知，则函数的值域 是 .15若函数是偶函数，则的递减区间是 .16下列四个命题（1）有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数的图象是一直线； （4）函数的图象是抛物线，其中正确的命题个数是_。三、解答题17判断一次函数反比例函数，二