第5章气体动理论

1、第五章思考题及其解答5-1 什么是热运动？其基本特征是什么？说明微粒做布朗运动的原因。答：系统中物质分子运动的剧烈程度随系统温度的升高而加剧，因此，将大量分子的无规则运动叫做分子的热运动。分子热运动的基本特征是分子的永不停息地运动和频繁地相互碰撞。由于气体分子的热运动，即从微观角度看，气体分子的无规则运动和对微粒的频繁碰撞，是微粒产生布朗运动的原因。5-2 何谓理想气体？从微观结构来看，它与实际气体有何区别？答： 所谓理想气体就是指比较稀薄的气体，即平均间距很大的分子集合。具体地讲，理想气体（1）分子本身线度与分子之间的平均距离相比可以忽略不计，分子看作质点；（2）除碰撞的瞬间外，分子与分子、

2、分子与器壁间无相互作用力；（3）分子之间，分子与器壁之间的碰撞是完全弹性的。 而实际气体分子之间有相互作用力，在短程斥力的作用下，实际气体分子不能当着质点来处理，应考虑到其本身体积的大小。实际气体的状态方程和实际气体的等温线和理想气体相比较也有较大的差别。5-3 若给出一个矩形容器，设内部充有同一种气体，每一个分子的质量为，分子数密度为，由此可以导出理想气体的压强公式。若容器是一个球形的，压强公式的形式仍然是不变的。请证明之。答：在球形容器内，分子运动的轨迹如本图中带箭头实线所示。设分子i的速率为，分子与器壁的碰撞为完全弹性碰撞，分子碰撞器壁只改变分子运动方向，不改变速度的大小，并且，“入射角

3、”等于“反射角”。对分子i来说，在每次和器壁的碰撞中，分子对器壁作用的法向冲量为。该分子每秒钟内与器壁的碰撞次数为，所以，该分子每秒内作用在器壁上的作用力为qqOR思考题5-3用图viq对于总数为N的全部分子（分子是全同的，每一个分子的质量均为m。）来说，球形内壁每秒内所受到的总作用力等于由于球形内壁的总面积为，气体的体积为。所以，按照压强的定义得证毕。5-4 对汽车轮胎打气，使之达到所需要的压强。在冬天与夏天，打入轮胎内的空气质量是否相同？为什么？答：不相同，在冬天打入轮胎内的空气质量要大一些。因为夏天气温高，空气分子的平均平动能较大；冬天气温低，空气分子的平均平动能较小。根据理想气体的压强

4、公式可知，当压强相同时，在冬天打入轮胎内的空气密度（即质量）要大一些。5-5如何理解分子平均平动动能？对于某一个分子，能否根据此式计算它的动能？答：为大量分子的平均平动动能的统计平均值，对于一个给定的分子，它的平动动能可能在0与之间的任何上一个值，故无法直接用计算它的平均平动动能。 5-6 根据理想气体的温度公式，当K时，0。由此可推断，K(即273)时，分子将停止运动。对此推论，你有何看法？请评判之。答：这种看法是错误的。因为理想气体的温度公式只适用于理想气体，而在273时，已经不存在理想气体了，温度公式也就不成立了，如此的推论自然也就是错误的。事实上，即使达到273，分子也还在作微小的振动

5、，运动仍不会停止。 5-7 如盛有气体的容器相对于某坐标系从静止开始运动，容器内的分子速度相对于这坐标系也将增大，则气体的温度会不会因此升高呢?答：容器内气体的温度是大量分子无规则热运动的平均效果，是表征容器内气体平衡状态的宏观参量。若因容器的运动而破坏了容器内气体的平衡状态，则无温度可言。在容器一般运动的情况下(比如直线运动)，由于气体分子的频繁碰撞，总能维持平衡状态，所有分子的热运动叠加了一个整体定向运动的速度，这并未增加或减少分子问的碰撞机会。因此，容器内气体的温度不会变化(通过取相对容器静止的参考系，可证明这一结论)。但当容器突然停止运动时，大量分子定向运动的动能将通过与器壁以及分子问

6、的碰撞而转换为热运动的能量，会使容器内气体的温度有所升高。5-8 麦克斯韦速率分布是指气体在平衡态下的统计分布。一般而言，速率分布函数还可以有其他形式。但是，无论何种形式，它们的意义是相同的。设为速率分布函数，请思考下列各式所代表的意义：（1） ； （2）； （3）； （4）。答：（1）表示速率分布在区间内的分子数占总分子数的百分比。（2）表示速率分布在区间内的气体分子数。（3） 表示速率分布在区间内的分子数占总分子数的百分比。（4） 表示速率分布在区间内的气体分子数。5-9 何谓速度空间？速度空间中的一个点代表什么？速度空间中的一个微分体积元代表什么？ 答：速度空间是以，作为直角坐标系三个坐

7、标轴来描述的空间，是一种假想的空间，利用它可以描述粒子的速度大小和方向。从速度空间的原点向速度空间中的某一点画出一个矢量，该矢量的大小和方向就是所对应的速度矢量。速度空间中的微分元表示速度矢量的取值范围在，内的所有速度矢量的整体，而，是该立方体微分元中最靠近原点的那一点的坐标。5-10 空气中含有氮分子和氧分子。试问哪种分子的平均速率较大？这个结论是否对空气中的任意一个氮分子及氧分子都适用？答：由于氮分子质量小于氧分子，在温度相同的情况下，氮分子的平均速率大于氧分子的平均速率。但是对于任意一个分子来说，其速度的大小与方向瞬息万变，是个随机变量，无法进行比较。5-11 气体分子的平均速率、最概然

8、速率和均方根速率的物理意义有什么区别？最概然速率是否是速率分布中最大速率的值？在数值上，这三个速率哪个最大？那个最小？答：由平均速率可以了解气体分子平均的运动快慢，由方均根速率可知分子平均平动动能的大小，而最概然速率则表明速率在此速率附近的分子数占总分子数的比率最大。显然，最概然速率不是速率分布中最大速率的值。在数值上，此三个速率大小关系是5-12 两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强相同，但体积不同。试问：（1）单位体积内的分子数是否相同？（2）单位体积内的气体质量是否相同？（3）单位体积内的气体分子总平动动能是否相同？（4）单位体积气体的内能是否相同？答：（1）根据，T和p相同，则n相

9、同；（2）n相同，但是两种不同气体，每个分子质量不同，所以单位体积内气体质量不同； （3）n相同，根据，T相同，则相同，所以单位体积内气体分子总平动动能相同； （4）因为每种气体的自由度未知，所以无法判断内能是否相同。5-13 若盛有某种理想气体的容器漏气，使气体的压强和分子数密度各减为原来的一半，气体的内能和分子平均动能是否改变？为什么？答： 根据理想气体的温度公式由于温度不变，气体分子平均动能没有改变。但由于分子数密度减少了，容器中的气体质量减小，根据理想气体的内能公式 可知，气体的内能减少。5-14 1mol的水蒸汽（H2O）分解成同温度的氧气和氢气，内能增加了百分之几？（提示：将水蒸汽

10、视为理想气体，不计振动自由度，水蒸汽的自由度为6）答：由水分解成同温度的氧气和氢气的化学方程式为 根据理想气体的内能公式，分别计算H2O、H2、O2的内能为 根据化学方程式可知水分解后的内能E2为 水分解前的内能为 分解前后内能增量为于是，内能增加的百分比为5-15 在气体的迁移现象中本质上是那些量在迁移？分子热运动和分子碰撞在迁移现象中起什么作用？答：在气体的迁移现象中本质上是气体的动量、能量或质量从一部分向另一部分的定向迁移。动量、能量或质量的定向迁移是通过分子热运动和分子碰撞实现的。第五章练习题及其习题解答5-1 每秒有1023个氧分子以500ms-1的速度沿与器壁法线成45角的方向撞在

11、面积为m2的器壁上，问这群分子作用在器壁上的压强为多大? 解：每个分子对器壁碰撞时，对器壁的作用冲量为 每秒内全部N个分子对器壁的作用冲量，即冲力为根据压强定义式得 （Pa）5-2 目前，真空设备内部的压强可达Pa，在此压强下温度为27时1m3体积中有多少个气体分子?解：由 得5-3 一个容器内储有氧气，其压强为Pa，温度为27，计算:(1)气体分子数密度；（2）氧气的密度；（3）分子平均平动动能；（4）分子间的平均距离（设分子均匀等距排列）。 解：由题意知 、（1） 分子数密度可由下式求出：（2） 设氧气分子的密度为，每个分子的质量为m,则 设分子的摩尔质量为，1mol气体所含的分子数为（阿

12、伏伽德罗常数），则，将其带入上式得（3） 分子平均平动动能可由温度公式求出（4） 由分子数密度可知每一个分子所占据的空间为此空间为正方体，相邻的两个分子的间距即为5-4 kg的氢气装在m3的容器内，当容器内的压强为Pa时，氢气分子的平均平动动能为多大？已知氢气的摩尔质量。解：由理想气体状态方程解出将其带入理想气体的温度公式可得 5-5 某些恒星的温度可达到K，这是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。在此温度下的恒星可视为由质子组成。试求（1）质子的平均动能；（2）质子的方均根速率。（提示：大量质子可视为由质点组成的理想气体，质子的摩尔质量）。）解：（1）将质子视为理想气体，由理想气体的温度

13、公式得质子的平均动能为(J)（2）质子的方均根速率可由下式求出5-6 在容积为1 m3的密闭容器内，有900g水和1.6kg的氧气。计算温度为500时容器中的压强。解：在500时，水变为水蒸汽，容器内的压强为 带入已知条件可得 5-7 若使氢分子和氧分子的方均根速率等于它们在地球表面上的逃逸速率（ ms-1），各需要多高的温度？若等于它们在月球表面上的逃逸速率（ ms-1），各需要多高的温度？解：已知氢气的摩尔质量为，氧气的摩尔质量为，由得当时，由上式可解出氢气分子所需要的温度为 氧气分子所需要的温度为当时，可解出氢气分子所需要的温度为 氧气分子所需要的温度为5-8 CO2气体的范德瓦耳斯常量

14、，。0时其摩尔体积为，计算其压强。如果将其当作理想气体，压强又为多少？ 解：（1）由范德瓦耳斯方程解得带入已知数据得（2）若将气体当作理想气体，由可得5-9 质量为g的粒子悬浮在27的液体中，观测到它的方均根速率为1.40 cms-1 。（1）计算阿伏伽德罗常量；（2）设粒子遵守麦克斯韦速率分布，计算该粒子的平均速率。解:（1）将在液体中的粒子运动看作理想气体的运动，则由理想气体的温度公式可得由此解得（2）设粒子遵守麦克斯韦速率分布，由麦克斯韦速率分布规律可求出粒子的平均速率为5-10 由麦克斯韦速率分布计算速率倒数的平均值。解: 由麦克斯韦速率分布函数可得5-11 20个质点速率如下：2个具

15、有速率，3个具有速率2，5个具有速率3，4个具有速率4，3个具有速率5， 2个具有速率6，1个具有速率7。试计算：（1）平均速率；（2）方均根速率；（3）最概然速率。答：据平均速率、方均根速率和最概然速率的定义得 20个质点中出现速率为的概率最大，有5个，故。5-12 有N个粒子，其速率分布函数为 （0）voOvf(v)C练习题5-11图（1） 画出该粒子的速率分布曲线（2） 由求出常量（3） 求粒子的平均速率解: （1）粒子的速率分布曲线如本题图所示（2） 由于由分布函数的归一化条件 ，得则（3） 粒子平均速率为5-13 用流体静力学原理及理想气体压强公式导出等温条件下单位体积中大气分子数随

16、高度的变化为其中，为0处单位体积的分子数，为分子平均摩尔质量。解:由流体静力学可知，大气压强随高度的增加而减小，并且满足 其中，p为大气压强、Z为高度、为大气分子的密度、g 为重力加速度。将上式分离变量，可写为 设分子质量为m、分子数密度为n，则。将其带入上式，得由理想气体压强公式p=nkT，考虑到等温条件，可得dp=kTdn。将其带入上式 ，整理后可得 积分上式，并考虑到Z=0时，n=n0，可得 5-14 假定海平面处的大气压为Pa，大气等温并保持0，那么，珠穆朗玛峰顶（海拔8882m）处的大气压为多少？（已知空气的摩尔质量2.89 kgmol1） 解：由大气压强公式可得：带入已知数据可得：

17、5-15 求上升到什么高度处，大气压强减到地面的75。设空气的温度为0，空气的摩尔质量为2.89 kgmol1。答：利用理想气体状态方程可得等温条件下高度随压强的变化关系可得 km5-16 储有氧气的容器以速率100ms-1运动，假设容器突然停止运动，全部定向运动的动能转变为气体分子热运动动能，容器中氧气的温度将上升多少? 解:设每一个分子的质量为m，1mol气体的质量为，总分子数为N，则全部分子的定向运动动能为 按照能量均分原理，每一个分子的热运动动能为 N个分子的热运动动能为温度变化时，热运动动能的增量为按题意，并考虑到氧气的自由度为5，可得即5-17 在容积为的容器中，有内能为J的刚性双原子分子理想气体。（1）计算气体的压强；（2）设分子总数为个，计算气体的温度和分子的平均平动动能。 解：（1）由理想气体状态