第三章多维随机变量及其分布

1、本讲主要内容：1.二维离散随机变量2.二维连续随机变量（重点）3.二维随机变量函数的分布（重点）设与Y为两个随机变量，那么我们称二元组（X，Y）为二维随机变量.一、二维离散随机变量定义7：设X与Y均为离散随机变量，取值分别x1, x2, xi，y1, y2,，yj,那么我们称（X，Y）为二维离散随机变量，并称P（X=xi, Y=yj）=pij, i, j =1,2,为（X，Y）的联合分布列.联合分布列的性质： pij0 边际分布列：X与Y独立的任何两行或者两列都成比例离散随机变量的独立性：设（X，Y）为二维离散随机变量，如果即联合分布列等于边际分布列的乘积，则称X与Y相互独立.条件分布列与乘法

2、公式：二、二维随机变量的联合分布函数定义8：设（X，Y）为二维随机变量，我们称二元函数为（X，Y）的联合分布函数.联合分布函数的性质：（1）F（x,y）为x与y的右连续函数.（2）F（x,y）为x与y的不减函数.（3）（4）三、二维连续随机变量定义9：设（X，Y）为二维随机变量，如果（X，Y）的联合分布函数可以写成则称（X，Y）为二维连续随机变量，并称f（x,y）为（X,Y）的联合密度函数.易知：联合密度函数的性质：（1），（2）边际密度函数：随机变量X的边际密度：随机变量Y的边际密度：连续随机变量的独立性：设（X，Y）为二维连续随机变量，如果则称X与Y相互独立.条件密度：我们称为在给定Y=y

3、时X的条件密度.为在给定X=x时Y的条件密度.如果二维连续随机变量（X，Y）的联合密度为则称（X，Y）服从区域G上的二维均匀分布.其中为区域G的面积.【例39解答题】假设随机变量Y服从参数的指数分布，随机变量求X1和X2的联合概率分布.答疑编号：针对该题提问解：P（X1=0, X2=0）=P（Y1，Y2）= P（X1=1, X2=0）=P（Y1，Y2）=【例40解答题】 某射手向一目标进行连续射击，每次命中的概率都是p，各次命中与否相互独立.以X表示第二次命中时的射击次数，以Y表示第三次命中时的射击次数.求（X，Y）的联合分布列以及Y的边际分布列.答疑编号：针对该题提问解：P（X=m，Y=n）

4、= 令m-1=k=n=3, 4, 5【例41解答题】设（X，Y）具有联合分布列：且已知EX=-0.2，记Z=X+Y.求（1）a,b,c的值； 答疑编号：针对该题提问（2）Z的概率分布； 答疑编号：针对该题提问（3）P（X=Z）.答疑编号：针对该题提问解：（1）a+b+c=0.4-（a+0.2）+c+0.1= -0.2解得a=0.2 , b=c=0.1（2）Z的概率分布（3）【例42解答题】设某汽车的车站人数XP（），每个人在中途下车的概率都是P,且下车与否相互独立，以Y表示中途下车的人数。求（X，Y）的联合分布列，并求Y的边际分布列.答疑编号：针对该题提问解： 【例43解答题】设有一个母鸡每年

5、产鸡蛋个数为X（）,每个鸡蛋孵出小鸡的概率都是p，且孵出与否相互独立.以Y表示小鸡的个数.求（X,Y）的联合分布列，并求Y的边际分布列.答疑编号：针对该题提问【例44解答题】设某人每天打电话的次数X（15），每次能接通的概率为0.8.以Y表示此人每天打通电话的次数.求（X,Y）的联合分布列，并求Y的边际分布列.答疑编号：针对该题提问1.联合分布列2.边际分布列3.独立性判断4.条件分布列的使用方法二维连续（X,Y）f（x,y）【例45解答题】设（X，Y）的联合密度函数f（x,y）=Axy，0x1，.求（1）常数A.答疑编号：针对该题提问（2）X与Y的边际密度.答疑编号：针对该题提问分析：f（x

6、,y）=Axy，0x1，1.该区域为（X,Y）的变化范围2.关于（X,Y）的一切运算（二重积分），必须限制在该区域内.3.利用区域投影求X与Y的取值范围解：（1）A=12 （2）【例46解答题】随机向量（X,Y）的概率密度求两个边缘密度fX（x），fY（y）.答疑编号：针对该题提问同理可得二维连续随机变量概率的计算公式： 其中G为二维平面中的区域.【例47解答题】 设二维连续随机变量（X,Y）的联合密度为（1）求P（X1）答疑编号：针对该题提问P（2X+Y1）=1-P（2x+y1）【例48解答题】 设（X,Y）的密度函数为试求：（1）X,Y的边缘密度函数，并判别其独立性；答疑编号：针对该题提问

7、（2）（X,Y）的条件分布密度；答疑编号：针对该题提问（3）答疑编号：针对该题提问（2） （3） 【例49解答题】设随机变量Xe（1），且对每个x0，当X=x时，Ye（x）.求概率P（YX）答疑编号：针对该题提问Xe（1）， 当X=x时，Ye（x）四、二维随机变量函数的分布问题提法：设二维连续随机变量（X,Y）的联合密度为f（x,y），令Z=g（X,Y），其中g（x,y）为一个二元函数.求Z=g（X,Y）的密度函数.【例50解答题】 设二维连续随机变量（X,Y）的联合密度为f（x,y）=.求Z=X+3Y的密度.答疑编号：针对该题提问解： 【例51解答题】 设（X,Y）f（x,y）=1，0x1，

8、0y2-2x.求Z=Y+2X的密度函数.答疑编号：针对该题提问解： 【例52解答题 】设随机变量（X,Y）的分布密度为f（x,y）=3x，0x1，0yx试求：Z=X-Y的分布密度.答疑编号：针对该题提问解：Z的取值范围：0,1当0z0ze（n）【例60解答题】对某种电子装置的输出测量了5次，得到的观察值，设它们是相互独立的变量，且都服从同一分布试求：的概率.解：令，由于相互独立，且服从同一分布，则，所求概率为.随机变量的可加性：正态分布的可加性：设，且相互独立，那么更一般地，我们有：【例61解答题】 设 ，且相互独立，求 的分布.答疑编号：针对该题提问解： 【例62解答题】 设，且相互独立，求的分布.答疑编号：针对该题提问解：泊松分布的可加性：设，且相互独立，那么二项分布的可加性：设，且相互独立，那么【例63填空题】设相互独立，则 答疑编号：针对该题提问答案：（1）【例64解答题】（条件概率分布）假设某地区一年内发生有感地震的次数X和无感地震的次数Y，相互独立且分别服从参数为的泊松分布.试在“一年共发生了n（n0）次地震”条件下，求有感地震次数X的