第三章导数及其应用的小结

1、阿尔山市一中高二年级数学学科导学案 主备人代丽艳课时1时间45分钟课题第三章 导数及其应用的小结学习目标1、 知识与技能：学生能正确地理解导数的定义及几何意义与物理意义，理解用导数的定义求某些基本初等函数的导数和方法。熟记这些函数和导数公式，掌握可导与连续的关系。2、 过程与方法：提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力3、 情感态度价值观：进一步感受数学的应用价值，提高数学的应用意识，坚定学好数学的信心。重点导数和定义。几个基本初等函数的导数公式。难点导数的定义，用导数定义求函数的导数。导 学 设 计函数的单调性（用导数的符号判断单调性）1.本章知识结构函数的极值（利用导数确定

2、函数的极值点和极值）点）函数的单调性与极值导数应用导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大、最小值问题（最优化问题）2.知识点总结（1）导数与函数单调性导函数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：如果在某个区间内，函数的导数_，则在这个区间上，函数是_，该区间是函数的_。 如果在某个区间内，函数的导数_，则在这个区间上，函数是_，该区间是函数的_。 . 如果在某个区间内，函数恒有导数_，则为_。注：0（或0)是在某一区间上是增加的（或减少的）的充分不必要条件.,在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单

3、调区间.函数的极值与导数一般情况下，求函数的极值点的步骤如下：求出导数_；解方程_；对于方程=0的每一个解x，分析在x左、右两侧的_（即的单调性），确定极值点：若在x两侧的符号“左正右负”，则x为_；若在x两侧的符号“左负右正”， 则x为_；若在x两侧的符号相同，则x_极值点注：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况，函数应在极值点附近有定义，端点绝对不是极值点函数最值的实际应用（优化问题的解决） 求连续函数在上上最值的步骤：求在（a,b）上的极值；将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 最值与极值的区别与联系：最值是整体性概念，极值是局部的概念最大（小）值不一定是极大

4、（小）值，极大（小）值也不一定是最大（小）值.函数在某一区间上的极值可能有多个，但在某一区间上存在最大（小）值时，最大（小）值只能有一个优化问题用函数表示数学问题建立数学模型用导数解决数学问题作答优化问题答案解决数学模型极值有可能成为最值，最值存在且不在端点处取得，则必是极值 解决优化问题的方法：解决优化问题的基本思路是注：用导数的方法解决实际问题，可归纳为：费用最省问题；面积、体积最大问题；利润最大问题等三、合作、探究、展示1求下列函数的单调区间和极值 2.设函数（）讨论的单调性；（）求在区间的最大值和最小值解：的定义域为（）当时，；当时，；当时，从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少（

5、）由（）知在区间的最小值为又所以在区间的最大值为2. 已知函数（1）求的极值（2）当时，求的最大值和最小值2.已知函数(x0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。（1）试确定a,b的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间；（3）若对任意x0，不等式恒成立，求c的取值范围。解：（I）由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得当时，此时为减函数；当时，此时为增函数因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需即，从而，解得或所以的取值范围为2.已知函数，其中（）当时，求曲线在点处

6、的切线方程；（）当时，求函数的单调区间与极值（）解：当时，又，所以，曲线在点处的切线方程为，即（）解：由于，以下分两种情况讨论（1）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00减函数极小值增函数极大值减函数所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00增函数极大值减函数极小值增函数所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数函数在处取得极大值，且函数在处取得极小值，且3甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此，甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入，在乙方不赔付甲方的

7、情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系，若乙方每生产一吨必须赔付甲方S元（以下称S为赔付价格）（1）将乙方的年利润W（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔偿价格S是多少？ （答案在中学第二教材）当堂反馈1.（07江苏）已知函数上的最大值和最小值分别为M,m，M-m=_.2.已知函数得极大值5，其导函数的图象经过点（1，0），（2，0）,如图所示，求（1）的值（2）a,b,c的值 3.已知的最大值为20，则实数m的值

8、为_4. (08湖北)若上是减函数，求b的取值范围是（ ）A. B. C. D.5.（08天津文21）设函数（1）当a=时，讨论函数的单调性；（2）若函数仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（3）若对于任意的a.不等式上恒成立，求b的取值范围当堂收获（1）导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立

9、适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具（2）函数极值的判断方法:(1) 定义法，若在点附近有定义，且满足附近所有点都有，则说为极大值；反之，则说为极小值，本方法主要用于判断不可导函数的极值。（2）导数法，当函数在处连续可导时，如果附近的左侧，右侧，那么是极大值；若左侧，右侧，那么是极小值。注：导数不存在的点有可能是极值点；而导数为0的点也不一定是极值点。（3）函数最值与极值的区别与联系：函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值。如果函数不在闭区间上可导，则确定函数的最值时，不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。在解决实际问题应用中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么要根据实际意