第三章矩阵的进一步讨论

1、第三章 矩阵的进一步讨论基础训练题1. 矩阵A的秩指的是什么？解：A中非零子式的最大阶数,若没有非零子式,则A的秩为零.2. 设F上的矩阵A的秩是r，下列论断哪些是对的？哪些是错的？是对的，给出证明；是错的，举出反例. （1）A中只有一个r阶子式不为零；解：错.例如A=,秩A=1,但一阶非零子式有两个.（2）A中所有r-1阶子式全为零；解：错.例如A=,秩A=2, 但A有5个2-1阶子式非零.（3）A中可能也有r1阶子式不为零；解：错.否则与秩A=r矛盾.（4）A中至少有一个r阶子式不为零.解：对.若A中r阶子式全为零,则秩Ar矛盾.3. l取何值时，矩阵的所有的秩最小. 解：4. 求下列矩阵

2、的秩(1) ;(2) . 解: (1)4; (2)4.5. 设A*是F上的n阶矩阵A的伴随矩阵，若秩An1，问A*的秩是多少？解: 秩A*=0.6. 设A是F上的mn矩阵，其秩小于m. 证明，存在m阶非零矩阵G,使得GA0.证明: 设秩Ar,则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q, 使得 PAQ=令m阶方阵B=,其中是m阶单位矩阵,因为rm,所以,而 BPAQ=B=0令G=BP,因为P为m阶可逆矩阵, 所以.在GAQ=0两边右乘以即得GA=0.7. 已知矩阵A的秩为2，求一个非零矩阵C使得AC0. A 解:因为所以=.8. 设a, b 都是数域F上的矩阵A的属于特征根l的特征向量，问ab是不是A

3、的特征向量？为什么？解:若 则不是A的特征向量; 若 则是A的属于特征根l的特征向量.这是因为A()=().9. 求下列矩阵的特征根. (1) ; (2) . (1) l1=,;(2) l1=,.10. 设l1, l2是数域F上的矩阵A的不同特征根，a1, a2是相应的特征向量，证明a1a2不再是A的特征向量. 证明:假设a1a2是A的属于特征根l的特征向量,则A(a1a2)= l(a1a2),另一方面, A(a1a2)= la1la2于是.因为,所以,都不为零.因此a2=a1 . 这样a1= A a1= Aa2=a1从而 a1=0.因此.矛盾.11. 设A, B都是数域F上的n阶矩阵，且A可

4、逆，证明，AB与BA相似.证明:因为 AB,所以AB与BA相似.12. 已知相似矩阵有相同的特征多项式，问这个命题的逆命题成立吗？若不成立，请举一个反例. 解:不成立.例如:尽管有,但A与 B不相似(否则B=A).13. 设矩阵A与B相似，其中A， B. 求a与b的值. 解: a0,b-2.14. 设A, B, T都是复数域上的n阶方阵, 且T是可逆矩阵. 证明, 若T -1AT= B, 则对任意的正整数m, 有T -1AmT= Bm.证明: B(T -1AT)(T -1AT)= T -1AT BBB =( T -1AT)( T -1AT)= T -1AT . BT -1AT.15. 设A,

5、B都是F上的n阶对称矩阵，证明，AB是对称矩阵当且仅当ABBA. 证明：必要性：设对称，则充分性：设，则16. 方阵A称为斜对称的，如果AT-A. 证明，实斜对称矩阵的特征根为零或纯虚数. 证明：设是的任一特征根，则存在复数域上维列向量，使得设，其中均为复数且不全为零用的转置矩阵左乘以上式的两边，得由于，所以由转置矩阵的性质可得所以，而因此，即是零或纯虚数17. 设矩阵A与B合同. 证明，秩A秩B. 证明：若与合同，则存在可逆矩阵使得，所以秩秩秩18. 设可逆实方阵A与B合同. 证明，detA与detB的符号相同.证明：设实方阵与合同，则存在可逆实方阵使得，因此，因为，所以与同正，同负或同时为

6、零19. 用合同变换化下列矩阵为对角形. (1) ， (2) . 解：（）；（）；（答案不唯一）20. 用非退化的线性替换化下列二次型为标准形（1）-4x1x22x1x32x2x3; （2）x12-3x22-2 x1x22x1x3 -6x2x3. 解：（1）经非退化的线形替换，得标准形：（2）经非退化的线形替换，得标准形：（答案不唯一）21.设n阶实对称矩阵A是正定的, P是n阶实可逆矩阵.证明, PTAP也是正定矩阵. 证明：因为正定，所以存在可逆的阶实矩阵，使得，因此，而是可逆的实矩阵，故正定22. 设A是n阶实对称矩阵.证明，A是正定矩阵当且仅当存在n阶实可逆矩阵P，使APTP.证明：因

7、为正定的充要条件是与合同，所以存在阶实可逆矩阵，使得23. 如果n阶实对称矩阵A的秩等于A的正惯性指数, 那么称A是半正定的. 证明，如果A(aij)是秩为r的n阶实对称矩阵, 那么(1) A是半正定矩阵的充分且必要条件是A与n阶方阵合同;(2) A是半正定矩阵的充分且必要条件是对于变量x1,x2,xn每取一组不全为零的实数,实二次型f(x1, x2, xn)=的函数值都是非负数.证明：（）半正定的正惯性指数的秩与合同（）设半正定，则存在可逆的，使得，其中秩令，因为可逆，所以对任意一组不全为零的，都有不全为零因此用反证法假设不是半正定的，即则存在可逆的，使得，其中令，则特别地取，但不全为零，即

8、任取这样由可逆知，对应得一组不全为零的此时，矛盾24. 设A是n阶实对称矩阵. 证明, 若A是半正定的, 则A的行列式是非负实数.证明：因为半正定，所以存在可逆的，使得，其中秩因此若，则否则25. 设A是n阶正定矩阵, B是n阶半正定矩阵. 证明, A+B是正定矩阵. 证明：因为是阶正定矩阵，是阶半正定矩阵，所以对任意一个维非零向量，都有，因此即是正定的26设A是一个正定矩阵.证明,(1) 对于任意正实数l, lA是正定矩阵;(2) 对于任意正整数k, Ak是正定矩阵;(3) A1是正定矩阵;(4) A的伴随矩阵A*也是正定矩阵.证明：（）因为正定，所以存在可逆的，使得因此故正定（）若为偶数，则，于是