第九章SECTION3线性变换

1、Comment Lovely1: Page: 1 3 线性变换线性变换 一、基本概念 线性变换 设和是同一域 F 上的两个线性空间，映射满足下面两个条V V :VV L 件： (i) ，对任意;)()()( 2121 LLLV 21, (ii) ，对任意；)()( 11 LLaaVFa 1 , 则称L L为线性映射或线性变换，又称同态. 若与是同一线性空间，则称 L 为空间 V 到V V 自身的线性变换，或称为自同态. 例 1 在一个线性空间 V 上的一个线性函数（见本节三）是 V 到域 F（考虑FV : 为一维线性空间）的一个线性变换. 例 2 设是线性空间 V 上的线性函数，则由 n ,

2、21 V m ), (,), (), ( 21 所确定的映射是 V 到 m 维空间的一个线性变换. m F 例 3 设 V 是区间a，b上所有连续函数组成的实线性空间. 若令 )(d)()(xFttfxf x a L 则 L 就是 V 的一个线性变换. 事实上，因为对任意实数 b，c，有 )()(d)(d)(d)()()()(xgcxfbttgcttfbttcgtbfxcgxbf x a x a x a LLL 例 4 设 V 为一切实系数多项式 f（x）组成的线性空间. 若令 （为的导数）)()(Lxfxf)(x f )(xf 则 L 是 V 的一个线性变换. 线性变换的性质 1o线性变换定

3、义中的条件(i)，(ii)等价于：对任意VFba 21, , ) () ()( 2121 LLLbaba 重复应用这公式，导出 )()()()( 22112211nnnn aaaaaaLLLL 2o若是线性无关的，是一个线性变换，则V r , 21 :VV L )(,),(),( 21r LLL 也是线性无关的. 3o若构成 V 的一个基底，又设，则唯一地存在一个线性 m , 21 21 ,V m 变换 L，使. ), 2 , 1()(mi ii L 零变换恒等变换逆变换 将线性空间 V 的任一矢量都变为线性空间的零矢 V 量的变换，称为零变换记作 O. 即对任一，有V （为的零矢量） )(0

4、 0 O 0 0 V 将线性空间 V 中任一矢量都变为自己的变换，称为恒等变换. 记作 I，即对任一 ，有V )(I 零变换和恒等变换都是线性变换. 对的线性变换 L，若存在上的线性变换 M，使，则称 M 为 L 的 VV VV ILM 逆变换，记作. 1 L 线性变换的矩阵 设是线性空间 V 的一组基底，是的基 n , 21 m , 21 V 底，是线性变换，那末可表为 :VV L), 2 , 1(mi i nmnmmm nn nn aaa aaa aaa 2211 22221212 12121111 由系数所组成的矩阵 mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 112

5、11 称为线性变换 L 关于基和的矩阵. n , 21 m , 21 特别，当 V 与的维数相同，或 L 是 V 自身的线性变换，则A为方阵. V 在基底确定之后，线性变换和它的矩阵建立了一对一的对应关系. 零变换的矩阵是零矩 阵，恒等变换的矩阵是单位矩阵. 线性变换的特征值与特征矢量 如果存在，使得自同态满足VF , :VV L )(L 那末称为线性变换 L 的特征值（特征根） ，称为对应于的特征矢量. 一个线性变换的特征值与特征矢量分别等于该变换的矩阵的特征值与特征矢量. 象象源核线性变换的秩 若是一个线性变换，则称为 V 的象，称 :VV LVL V 为象源，称为核. 的维数称为 L 的

6、秩，的维数称为退化次数. )( 1 0 0 LVL)( 1 0 0 L 一个线性变换的核与象分别为 V 和的线性子空间，核的维数与 :VV L)( 1 0 0 LVL V 象的维数之和等于象源的维数. 即 VVdimdim)(dim 1 LL0 0 一个线性变换的秩等于该变换的矩阵的秩. 二、线性变换的运算 线性变换的和与数乘 从空间 V 到空间的线性变换的集，记作 V ),Hom( VV 设，按照下列公式定义:VFaVV ,),Hom(, MLLMLa， )()(),()()( LLMLMLaa 这两个新的变换都是线性的，并且 LMML 分别称为线性变换的和与数乘. LMLa， 按上面定义的

7、线性变换的和与数乘，集组成 F 上的线性空间. 它的维数等于),Hom( VV V 和的维数 n 和 m 的积. Vmn 线性变换的乘积 设为三个线性空间，若， VVV，),Hom( VVL 则定义),Hom( VVM )()( LMLM)(V 显然是从的线性变换，称为线性变换的乘积. LM VV LM 线性变换的乘积满足： 1o分配律 若则),Hom(),Hom(, 21 VVVVMLL MLMLMLL 2121 )( 2o结合律 若. ),Hom(),Hom(),Hom( VVVVVVNML NLMMNL)()( 幂等变换 如果 L 是线性空间 V 到自身的线性变换，满足等式 LLLL 2

8、 那末称 L 为幂等变换. 同构与自同构 若线性变换是一对一的，则称 L 是同构，或称 L 是正则的. :VV L V 到自身的一个同构称为自同构. 若 V 到自身的线性变换不是自同构，则称它为奇异线性变 换，否则就称为非奇异线性变换（或正则自同态）. 同构有以下性质： 1o是一个同构的充分必要条件是： :VV L 0 00 0 )( 1 L 2o若 L 和 M 是同构的，则 :VV L :VV M 111 )( LMLM 特别，对自同构，上式也成立. VVV 3o域 F 上线性空间 V 的一切自同构所成的集 G 在乘法之下构成一个群. 称 G 为 V 的线 性变换群，记作，其中 n 为 V

9、的维数. ),/(FnG 4o域 F 上线性空间 V 的一切线性变换（自同态）所成的集 R 在加法和乘法之下构成一 个环，称 R 为 A 的线性变换环. 三、对偶空间与对偶映射 数量积与对偶空间 设 V 和是两个实（复）线性空间. 若对任意一对矢量 * V 确定了一个数量，并满足下列条件：),(, * VV ),( * (i),(),(),( * baba ),(),(),( * baba (ii) 对一个固定的和一切,若则；反之，对一个固定的V * V 0),( * 0 0 和一切,若则.则称函数为数量积. * V V 0),( * * 0 0 ),( * 若，则称是正交的. (ii)表明，

10、一个空间中一个矢量与另一个空间中一0),( * * , 切矢量正交，只当它是零矢量时才成立. 定义了数量积的两个线性空间称为对偶空间. 对偶空间的维数相等. 对偶基底 若 V 和的两个基底和满足关系式： * V, 21n , * 2 * 1n )(0 )(1 ,),( * ji ji ijijji 则称它们为对偶基底. V和是对偶空间，则对于V的一个已知基底，恰有一个对偶基底 * V, 21n * V . , * 2 * 1n 正交补空间 设是 V 的一个子空间，则空间 V 中与的一切矢量都正交的矢量 1 V 1 V 组成的集合是 V 的一个子空间，称为的正交补空间，记作. * * 1 V *

11、 1 V 1 V 1 V 正交补空间有以下性质： 1o空间和的维数之和等于空间 V 的维数，即 1 V 1 V VVVdimdimdim 11 2o 11 )(VV 3o若，则；而且和是一对对偶空间，和也是一对 21 VVV 21 * VVV 1 V 2 V 2 V 1 V 对偶空间. 共轭空间 设 V 是域 F 上的线性空间，若对，在 F 上有唯一的一个数与V )( 对应，则称这个对应关系为定义在 V 上的一个函数. 函数 FV : 若对任二矢量与任意，都有V ,Fba, )()()( baba 则称为线性函数，又称为线性泛函. 令，则有，因此又称线性函数为线0 ba0)0( 性齐次函数或线性型. V 中线性函数的集的两个函数，的和与数乘按通常的方式定义如下：)(VL Vaa ),()(),()()( 则构成一个线性空间，称为 V 的共轭空间，的零矢量是一个恒等于零的函数. )(VL)(VL)(VL 可以证明和 V 是一对对偶空间，若是 V 的一组基底，则由下列方程)(VL n , 21 定义的函数为的一个基底： n aaa, 21 )(VL ijj i a)( 因而又是的共轭基底. n aaa, 21 n , 21 对偶映射 设 V，与 W，是两对对偶空间；若两个线