第五节反常重积分

1、第五节 反常重积分本节将研究无界区域或无界函数的情形.着重就二重积分进行讨论.一、无界区域上的反常积分 设是曲线，令记号： . 定义1 设D是平面R2中无界区域，它的边界有有限条光滑曲线所组成 , 是任一条面积为0的连续有界曲线, 将D分割成若干部分, 其中到(0,0) 距离最小的有界部分(或其一)记为D()(如图), 是D上的函数, 并且在D的任意有界可求面积的子集上可积. 如果 存在, 则称在D上可积, 这个极限称为在D上的反常二重积分. 还是记作:yD, 即=. 当在无界区域D上可积时, 称收敛. 如果不存在, 我们还用这个记号, 也称为在上的反常二重积分, 但这时我们称这个反常二重积分

2、发散. D()x图12-5-1 其中我们说D()是从D中割出的有界区域.显然若和在D上可积，则在D上可积.定理 12.16 设D是平面R2中无界区域，是D上的函数, 0. 是一列分段光滑曲线,如定义中,它们将D分割出有界子区域满足 ,及,那么收敛的充分必要条件是数列收敛,并且 =.证明 由定义,必要性是显然的.只要证充分性.注意到是单调增数列, 当记 时. 对任意一条分段光滑曲线, 它从D割出的有界可求面积的区域D(),由于条件知,存在N1, 当nN1时, D() Dn , .对任意0, 存在N20, 当n N2时, . 所以, 对分段光滑曲线, D()为有界区域.当时, 从而有极限的定义知,

3、 ,所以收敛.并有上面的等式. 例1 求的值.解 设自然数n , 取n : . 所以， 即，原反常积分收敛. 对自然数n, 再取n : . 那么也有从而我们可得如下的概率积分: .定理 12.17 (比较判别法) 设D是平面R2中无界区域，, 是D上的函数, 在D的任何有界可求面积的子区域上可积,并且.那么 (1)当收敛时, 收敛时; (2)当发散时, 发散时.证明留给读者.定义12.18 设D是平面R2中无界区域， 在D上的可积函数的充分必要条件是在D上的可积. 证明 充分性 设|f(x,y)| 在D上的可积, 令 显然, ，所以在D上的可积. 故=-也在D上的可积. 必要性 用反证法. 设

4、 f(x , y) 在D上的可积, 但 |f(x,y)| =+在D上的不可积 , 即和至少有一个不可积.不妨设不可积. 那么对任意正数K, 存在一条曲线 , 它从D割出有界的D()满足: . 一般地,由归纳可得,存在一族分段光滑曲线,它们将D分割出有界子区域满足 ,及,并且 ,(n=1,2,),即 , (n=1,2,).因f(x , y) 在D上的可积, f(x , y) 在上的可积. 容易得在上的可积. 其Darboux小和收敛于.所以,当把充分细的分划P: ， 其面积分别是:. 记 , , 有 , (n=1,2,).记Pn为的小区域的并, 那么, (n=1,2,).令En为Dn和Pn的并,

5、 y, (n=1,2,).Dn+1-Dn n+1 连接区域 Dn n+1x图12-5-2n 如果En不是一个连通区域，我们可以作几个长条矩形连接各个不相交的区域.使得这些长条矩形和原有的所有区域形成连通的区域记为n，这些长条矩形的取法,使得, (n=1,2,). 显然,n可以充分大, 与f(x , y) 在D上的可积矛盾.推论 设D是平面R2中无界区域， 是D上的函数, 并且在D的任意有界可求面积的子集上可积., 那么 (1) 当足够大时, (c是常数),如果 2, 则反常二重积分收敛; (2)当足够大时, (c是常数),如果 2, 则反常二重积分发散.二、无界函数的反常积分 设D是平面R2中

6、有界可求面积区域， P是的聚点, 是D(可能除P以外)上的函数, 在P的任何邻域内无界(P称为奇点或瑕点),. 设为含有P的任何小区域, 在D - 上可积. 设 .y如果存在, 则称在D上可积, 这个极限也称为在D上的反常二重积分. 还是记作:, 即=. 当在D上可积时, 称收敛. 如果不存在, 我们还用这个记号, 也称为在D上的无界函数反常二重积分, 但这时我们称这个反常二重积分发散. PDx图12-5-3Ox与无界区域的反常二重积分一样, 可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理.定理 12.18 设D是平面R2中有界区域， P(x0, y0)是D的聚点, 是D(可能除P以外)上的函数, 在P的任何邻域内无界,. 设为含有P的任何小区域, 在D - 上可积,那么 (1)当足够小时,(c是常数),如果 2, 则反常二重积分收敛;(2)当足够小时, (c是常数),如果 2, 则反常二重积分发散.对于非负函数,也有与无界区域的反常二重积分一样的结果.例2 求.解 显然函数是区域上.(0,0) 可能为奇点, 取: , 那么 当,当, 发散. 类似于反常二重积分,我们可以定义一般的反常n重积分积分,