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文档简介

1、第八章 多元函数微分法及其应用学习指导一、知识脉络 二、重点和难点1重点：求极限、求偏导数、求全微分、求极值。2难点：极限存在、连续、偏导数存在、可微之间的关系，复合函数求偏导数。三、问题与分析1与仅当前者存在时，才相等。2二重极限、连续、偏导数存在、可微间的关系极限连续偏导数存在可微 3多元函数中极限、连续、偏导数的运算法则、一阶微分形式的不变性、初等函数的连续性、最值定理、介值定理均与一元函数中相应内容和结论对应。4二重极限与二次极限是本质不同的两个概念。(1) 当动点沿任意路径趋于时，若都以同一数值为其极限，则这样得到的极限为二重极限；当，先后相继地趋于，时的极限为二次极限。(2) 两个

2、二次极限存在且相等，不能得出二重极限存在。例如：，容易验证两个二次极限，但是不存在。(3) 二重极限存在，不能得出二次极限存在。例如：，因为在不含有两个坐标轴的平面点集上有定义，当时，有。由于有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量，可得，对任意给定的，由于，而不存在，所以不存在。因此先对后对的二次极限不存在。同理也不存在。5学习二次极限应注意以下三个问题：(1) 两个二次极限分别存在时不能保证它们一定相等，因此不能任意地交换求极限的先后顺序。例：，则，。(2) 二次极限中一个存在，另一个可以不存在。例：，容易验证，而不存在。(3) 两个二次极限都可以不存在。例：。容易验证与都不存在。6学习多元复

3、合函数的求导应注意的问题：求多元复合函数的导数，关键是搞清各个变量之间的复合关系，常用一种“树形图”的图形直观地给出因变量、中间变量及自变量的关系，帮助我们记忆公式，以便进行正确运算。例如：，zuvyx画出“树形图”则 7学习方向导数应注意的问题(1) 是单侧极限。因为，所以实际上是。(2) 是双侧极限。时，可正、可负，因此时，与不一定相等，时，与也不一定相等。(3) 梯度是一个向量，当的方向与梯度方向相同时，方向导数达到最大值。8最小二乘法在数学建模中有广泛的应用，要注意领会其精神实质。四、解题示范例1：求解：原式一般地，用定义证明二重极限不存在有二种途径：(1) 找到两条特殊的途径，得出沿这两条途径趋于时，的极限值不等；(2) 找到一条特殊的途径证明沿此途径趋于时，的极限不存在。例2：求解：当动点沿趋于时，则当动点沿趋于时，则故原极限不存在。例3：求当，时的全微分。解：因，故。例4：求的一阶偏导数，其中具有一阶连续偏导数。解：将三个中间变量按顺序编为1，2，3号，画出“树形图”u=fx(1)xy(2)xyz(3)xyz故 例5：求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。解： ， 因为 所以例6设，取，作为新自变量，试变换方程。解：，

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