2.3直线、平面垂直的判定及其性质

1、直线、平面垂直的判定及其性质,2.3,主要内容,2.3.2 平面与平面垂直的判定,2.3.3 直线与平面垂直的性质,2.3.1 直线与平面垂直的判定,2.3.4 平面与平面垂直的性质,直线与平面垂直的判定,2.3.1,直线和平面的位置关系,复习1,直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行,旗杆与地面的位置关系,观察,线面垂直,大桥的桥柱与水面的位置关系,思考1,直线和平面垂直,旗杆与地面中的直线的位置关系如何？,将一本书打开直立在桌面上， 观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？,思考2,思考3,一条直线与一平面垂直的特征是什么？,

2、特征：直线垂直于平面内的任意一条直线,直线和平面垂直,如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直.,定义,平面 的垂线,垂足,平面内任意一条直线,如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？,思考4,l,如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：,过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触） （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直,探究,当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面垂直,（1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所

3、在平面 上的一条直线垂直，就可以判断AD 垂直平面 ，你同意他的说法吗？,（2）如图，由折痕 ，翻折之后垂直关系不变， ， 由此你能得到什么结论？,思考5,线面垂直的判定,判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直,例1. 如图，已知 ，求证,根据直线与平面垂直的定义知,因为直线 ，,例2 已知：正方体中,AC是面对角线,BD 是与AC 异面的体对角线. 求证：ACBD,例3 在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，PA=AB，D为PB的中点，求证：ADPC.,直线与平面垂直的判定定理可简述为,“线线垂直，则线面垂直”,小结,通过直线间的垂直，推证直线与平

4、面垂直，即将直线与平面的垂直关系（空间问题）转化为直线间的垂直关系（平面问题）.,思想方法,前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？,问题提出,直线与平面所成的角,第2课时,线面角相关概念,P,斜线PA与平面所成的角为PAB,l,A,1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角,2.平面的垂线与平面所成的角为直角,3. 一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角的00角,一条直线与平面所成的角的取值范围是,例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.,

5、例2 如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知ABC=60，OBC=45，求斜线AB和平面所成的角.,如图，BAD为斜线AB与平面所成的角，AC为平面内的一条直线，那么BAD与BAC的大小关系如何？,BAD BAC,E,解：作BOAD于O，BEAC于E， 则 BDBE sinBADsinBAC,思考1,o,两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？,思考2,1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？,2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？,3.两条异面直线在同一个平面

6、内的射影可能是哪些图形？,思考3,小结,1. 直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量. 线面垂直和线面平行是特殊情况. 2. 斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角. 3. 求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影.,作业,P67练习1，2，3,平面与平面垂直的判定,2.3.2,卫星轨道面,地球赤道面,概念,直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面.,概念,从一点出发的两条射线，构成平面角.,同样,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面

7、叫做二面角的面.,m,记为：二面角-m-,记作AOB,A,B,O,二面角的图示,二面角的记号,（1）以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为：,（2）以直线AB为棱，以 为半平面的二面角记为：,A,B,思考3,两个相交平面有几个二面角？,如何用平面角来表示二面角的大小？,探究,二面角-l-,二面角的平面角,以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,平面角,AOB即为二面角-AB-的,注意：二面角的平面角必须满足：,（1）角的顶点在棱上. （2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.,二面角的取值范围,0度角,1

8、80度角,001800,例1.在正方体中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指出大小.,端点,例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B的正切值.,例3 如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为300，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为450 ，沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处，此时人升高了多少m？,小结二面角的平面角的作法：,1.定义法： 根据定义作出来.,2.作垂面： 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到.,3.应用三垂线定理： 应用三垂线定理或其逆定理作 出来.,o,平面与平面垂直的判定,第2课时,平面与平面垂直的判定,定义,一般地，两个

9、平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.,a,A,b,记为,判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直,a,A,例1 如图，O在平面内，AB是O的直径， PA，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC.,证明:,例2 在四面体ABCD中，已知ACBD, BAC= CAD=45，BAD=60，求证：平面ABC平面ACD.,例3 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC平面PCD.,请问哪些平面互相垂直的,为什么?,探究：,小结,1. 知识小结 1）二面角及其平面角 2）两个

10、平面互相垂直 2. 思想方法,面面垂直,线线垂直,线面垂直,作业,P69练习 P73习题2.3 A，1，2，3，4.,直线与平面垂直的性质,2.3.3,直线与平面垂直的判定定理是什么？,复习,直线与平面垂直的定义是什么？,a,a,思考1,如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？,思考2,如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直线a，b的位置关系如何？,相交,平行,异面,思考3,如果直线a，b都垂直于平面，那么a与b一定平行吗？,垂直于同一个平面的两条直线平行,直线与平面垂直的性质定理,直线与平

11、面垂直,c,性质定理的证明,反证法证明：,例1 如图，已知 于点A， 于点B， 求证： .,小结,直线与平面垂直的性质定理可简述为,“线面垂直，则线线平行”,思想方法,线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂直来证明线线平行的方法，也提供了作平行线的一种方法.,“线面垂直，则线线垂直”,作业,P71练习1，2 P73习题2.3 A组，5，6. B组1，2,平面与平面垂直的性质,2.3.4,复习1,l,l,两个平面相互垂直,三个平面两两垂直,两个平面垂直的判定,判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直,复习2,1.黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂

12、直？若存在，怎样画线？,思考？,思考？,2.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？,思考？,两个平面垂直的性质,性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.,面面垂直线面垂直,a,A,l,若，过平面内一点A作平面的垂线a，那么垂线a与平面具有什么样的位置关系?,思考？,反证法证明点B在两个平面的交线上,注意：过一点只能作一条直线垂直于已知平面.,结论,如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内.,例1.如图，已知，a，a，试判断直线l与平面的位置关系，并说明理由.,A,b,a,l,例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2， ,侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB底面ABCD. （1）证明：侧面P