[第2讲]函数的对称性应用在高考中的考查

1、函数的对称性应用在高考中的考查 浅析函数f(x)图象的对称性中学数学，函数f (x)的图象涉及一些对称问题。那么，哪些函数的图象具有对称性呢？常有如下命题：1若yf (x)是偶函数，则yf (x)的图象关于y轴(即x0)对称；2若yf (xa)是偶函数，则yf (x)的图象关于直线xa对称即f (ax)f (ax)；3若yf (x)是奇函数，则yf (x)的图象关于原点(即(0，0)对称； 4若yf (xa)是奇函数，则yf (x)的图象关于点(a，0)即f (ax)-f(ax) 对称； 5若函数yf (x)满足f (ax)f (ax)即f (x)f (2ax)，则yf (x)的图象关于直线x

2、a对称；6若函数yf (x)满足f (ax)-f (ax)即f (x)-f (2ax)，则yf (x)的图象关于点(a，0)对称； 7若函数yf (x)满足f (x)f (ax)b，则yf (x)的图象关于点(，)对称； 8在同一平面直角坐标系中，当横、纵坐标轴的长度单位一致时，yf(x)的图象与yf -1(x)的图象关于直线yx对称；9已知yf(x)的图象，则函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线x对称；下面给予简单证明：设(x1，y1)满足yf (ax)，(x2，y2)满足y f (bx)； 即y1f (ax1)，y2f (bx2)；而x1x22m， y1y2y1f a(2mx2

3、)y2f (bx2) a2mx2bx2 xm注：若函数yf (x)满足f (ax)f (bx)，则yf (x)的图象关于直线x对称。与命题9是不相同的。 10若函数f(x)与g(x)有相同的定义域，且f (x)g (x)a，则函数f (x)与g(x)的图象关于直线y对称。 以上命题的证明比较简单，请同学自己证之。下面谈谈它们的应用： 【例1】 函数f (x)x3的图像关于( ) 对称。 Ax轴 By轴C点(4，1)D点(1，4) 【例2】 已知函数yf (x)在(0，2)上是减函数，且yf (x2)是偶函数，那么( )。 Af ( )f( )f( 3 ) Bf ( 3 )f( )f( ) Cf

4、 ( 3 )f( )f( ) Df ( )f( 3 )f( )【例3】(2008京)已知函数 f (x)x2cosx，对于-，上的任意x1，x2，有如下条件： x1x2；x12x22；|x1|x2。其中能使f (x1)f (x2)恒成立的条件序号是_。 【例4】(08鲁)设函数f (x)|x1|xa|的图像关于直线x1对称，则a的值为( )A3 B2 C1 D-1 【例5】(05福建) f (x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f (2)0，则方程f (x)0在区间(0，6)内解的个数的最小值是( )。 A3 B4 C5 D7 【例6】(05广东)设函数f (x)在(-，+)上满足f (2x)f (2x)，f (7x)f (7x)，且在闭区间0，7 上只有f (1)f (3)0，试判断函数yf (x)的奇偶性；试求方程f (x)0在闭区间2005，2005上根的个数，并证明之。 【例3】 已知定义在R上的函数(x)满足(ax)(ax)(其中a为常数)。且xa时，(x)单调递减(增)，求证xa时，(x)单调递增(减)。【例4】 已知f(x)是R上的增函数，点A(-1，1)，B(1,3)在f(