微积分发展历程精品

1、微积分发展历程(二)微积分学的诞生随着时代的发展，实践中提出了越来越多的数学问题，待数学家们加以解决， 如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题”初等数学方法对此越来越无能为力， 需要的是新的数学思想、新的数学工具。不少数学家为此做了不懈努力，如笛卡尔、费马、 巴罗”并取得了一定成绩，正是站在这些巨人的肩膀上，牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，成功运用无限过程的运算，创立了微积分学。这新发现、新方法的重要性使当时的知识界深 感震惊，因而出现了一门崭新的数学分支：数学分析。这一学科的创立在数学发展史上翻开了崭新一页，谱写了光辉动人的乐章。1) 微积分的发展无限小算法的推广，在英国和欧洲

2、大陆国家是循着不同的路线进行的。不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数 术，他们中的优秀代表有泰勒(B.Taylor)、麦克劳林(C.Maclaurin )、棣莫弗(A.de Moivre )、斯特林(J.Stirling )等。泰勒(1685_1731)做过英国皇家学会秘书。他在1715年出版的正的和反的增量方法一书中，陈述了他早在1712年就已获得的著名定理v . v2二 v3、x(z+v) = x+x +x + x + 其中v为独立变量z的增量，x和z为流1 坐1 2z1 2 里数。泰勒假定z随时间均匀变化，故z为常数，从而上述公式相当于现代形式的“

3、泰勒公式”：h2f x h 二 f x hf x h f x ： 2!泰勒公式使任意单变量函数展为幕级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。泰勒公式在x=0时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分 教科书中一直把 x=0时的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。麦克劳林(1698_1746、是牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作流数论，以纯熟却难读的几何语言论证流数方法，试图从“若干无例外的原则”出发严密推演牛顿的流数论，这是使微各分形 式化的努力，但因囿于几何传统而并不成功。流数论中还包括有麦克劳林关于旋转可

4、耻椭球体的引力定理，证明了两个共焦点的椭球体对其轴或赤道上一个质点的引力与它们的体 积成正比。麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。微积分发明权的争论滋长了不列颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。与此相对照，在英吉利海峡的另一边，新分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃发展起来。2) 积分技术与椭圆积分18世纪数学家们以高度的技巧， 将牛顿和莱布尼茨的无限小算法施行到各类不同的函 数上，不仅发展了微积分本身， 而且作出了许多影响深远的新发现。在这方面，积分技术的 推进尤为明显。当18世纪的数学家考虑无理函数的积分时，他们就在自己面前打开了一片新天地，因为他们

5、发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示。例如雅各布？伯努利在求双纽线r adr。在天文学 44a -rt中很重要的椭圆弧长计算则引导到积分s = a!0仁 k2t2 dtdr。欧拉在1774年处-t2 仆卡（在极坐标下方程为 r2 =；：2cos2d ）弧长时，得到弧长积分s =理弹性问题时也得到积分“椭 +Ex + X）dx 2。所有这些积分都属于后来所说的玄厶二亠、x x2圆积分”的范畴，它们既不能用代数函数，也不能用通常的初等超越函数（如三角函数、对数函数等）表示出来。椭圆积分的一般形式是P）dx。勒让德后来将所有的椭圆积分jRx）归结为三种基本形式。在 18世纪，法尼亚诺、欧拉、拉格朗日和勒让德