圆锥曲线第一问

1、圆锥曲线解答题第一问预备知识1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。注：以上方程中的大小，其中；在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。（2）椭圆的性质范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不

2、变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，且，即；离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。，且越接近，

3、就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。2双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。注意：式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；当时，表示两条射线；当时，不表示任何图形；两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。椭圆和双曲线比较：椭 圆双 曲 线定义方程焦点注意：如何用方程确定焦点的位置！（2）双曲线的性质范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。对称性：双曲线

4、关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近

5、线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上。注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线

6、l叫做抛物线的准线。方程叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性轴轴轴轴顶点离心率说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。题型分类一 求圆锥曲线的

7、方程1. 利用a,b,c,p的关系或几何意义 例1. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=1，=2，求证1+2为定值.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1.椭圆C的方程为 例2：已知椭圆F1，F2分别为椭圆C的左，右焦点，A1，A2分别为椭圆C的左，右顶点焦距为且椭圆上一点为M（1）求椭圆C的标准方程；解：（1）过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M，b2=a2c2=a23点在椭圆上，3a29+4a2=a43a2a4

8、10a2+9=0，（a29）（a21）=0，a2=9或a2=1c2（舍去）b2=a2c2=6椭圆C的方程为2. 利用圆锥曲线的几何性质求基本量例3 已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上且C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：x14y3061(1)求C1，C2的标准方程；(2)过点A(m,0)作倾斜角为的直线l交椭圆C1于C，D两点，且椭圆C1的左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部，求m的取值范围解(1)先判断出(，0)在椭圆上，进而断定点(1，3)和(4，6)在抛物线上，故(，1)在椭圆上，所以椭圆C1的方程为1，抛物线C2的方程为y29x.3.

9、 中点弦问题例4 中心在原点的椭圆C的一个焦点是F（0，），又这个椭圆被直线l：y3x2截得的弦的中点的横坐标是.（1）求该椭圆方程；解析：据题意，此椭圆为焦点在y轴上的标准形式的椭圆，设其方程为1（ab0）设直线l与椭圆C的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则有：1，两式相减得：0即3 a23b2 又因为椭圆焦点为F（0，） c则a2b250 由解得：a275，b225二 求轨迹和轨迹方程问题1.直接法例5在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(，0)，B(，0)，直线PA与PB的斜率之积为.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N

10、两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过x轴上一定点(1)解由题知：.化简得y21(y0)练习：已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明：直线l过定点(1)解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|，又|O1A|，化简得y28x(x0)又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y28x，

11、动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.2相关点法例6 已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2（I）求线段中点的轨迹的方程；（II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程解：（I）由题可设，其中.则 1分的面积为定值2，. 2分，消去，得： 4分由于，所以点的轨迹方程为（x0）5分3定义法例7 设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于（I）求的值；（II）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点与轴交于点求的横坐标的取值范围.例8 已知定圆圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的

12、轨迹记为C. （I）求曲线C的方程； （II）若点为曲线C上一点，求证：直线与曲线C有且只有一个交点.解：（I）圆A的圆心为，设动圆M的圆心由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r1r2，即|MA|+|MB|=4，所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由练习：已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为，轨迹与轴的交点为 （）求轨迹的方程；解：（）由已知 ，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，且 轨迹的方程为 - 4分三 求圆锥曲线的几何性质例8. 已知抛物线，点P（1，1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两

13、点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足k1+k2=0. （I）求抛物线C的焦点坐标； （II）若点M满足，求点M的轨迹方程.解：（I）将P（1，1）代入抛物线C的方程得a=1，抛物线C的方程为，即焦点坐标为F（0，）.4分APQFOxy练习：设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且 （1）求椭圆C的离心率； （2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l： 相切，求椭圆C的方程. 解：设Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知2分设，得4分因为点P在椭圆上，所以6分整理得2b2=3ac，即2（a2c2）=3ac，,故椭圆的

14、离心率e8分四 与圆锥曲线有关的直线（方程、斜率、弦长等）问题例9 已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.（）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；（）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将代入， 消去整理得 . 2分设 则 . 4分由线段中点的横坐标是， 得，解得，适合. . 5分所以直线的方程为 ，或 . . 6分四与圆锥曲线有关的面积、最值问题例10 已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，.（I）当时，求的面积(II)当2时，证明：.例11 设、分别是椭圆的左、右焦点. （）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（）易知 设P（x，y），则 ，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 练习：在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由解法1：（）依题意，点的坐标为，可设，直线的方