实变函数教案

1、实变函数教案总48学时实变函数诞生于上世纪初（法）Lebesgue 创立Lebesgue积分Riemann积分的对象是连续函数；Lebesgue积分的对象是可测函数，其应用广泛测度积分形成后，建立了泛函分析理论它是现代数学的一门重要课程，应用广泛第一章集合1.1, 1.2 集合表示及运算1集合概念集合：具有某种共性的事物的全体,记为 空集：；全集：X 元素：如：；B=一个班级全体学生2包含与相等是指：；称A是B的子集是指：若，称A为B的一个真子集关系满足：(1) ； (2) ；(3) 3集合的运算并集 ；交集 ；若，称A与B不相交；差集 ；余集 （画图示）集合运算性质：(1) 交换律：；(2)

2、 结合律：；(3)分配律： ；(4) 对偶律：4集族 集族：X为集合，集合A的元素都是X的子集，称A为X的一个集族：A中所有元素的并； ：A中所有元素的交幂集：，X的全体子集构成的集族指标集， 有集族并：；交：如 ，得到集列； ， 简记 5集合序列的极限定义1.1.1. 为一集列，上限集：；下限集：关系：若， 称收敛例1. 令 ， 则 收敛例2. 令 ， 则 ， 故 发散定理1.1.1. 为一集列，则(1) 有无穷多个含有x；(2) 定义1.1.2. (单调集列)单增集列：； 单减集列：结论：(1) 若，则 ；(2) 若，则 证：(1) ；6集族的直积A与B的直积集 ；的直积集1.3, 对等于

3、基数1映射（对应）概念映射f：x原象， y象， X定义域满射：；单射：；一一映射：满射+单射恒等映射 ， （一一映射）若 ，称f为X上的实（或复）函数逆映射： 为一一映射，定义设， 记 （象）； （原象）定理1设， 和 分别是X上和Y上的集族，则， ； ，(*) (*)证：记 ， 反之，即特征函数（示性函数）：性质：设 ，()， 则(1)； (2)； (3)； (4)；(5)； (6) ； (7) ；(8) 收敛收敛；此时有 2集合的对等、势对等：存在一一映射，称A与B对等，记作 或 集合A的势（基数）关系“”性质：(i) 反身性：； (ii) 对称性：； (iii) 传递性： ，3势的比较若

4、A与B的一个子集对等，记 ；若A与B的一个子集对等，但A与B不对等，记 定理1.2.2. 对于集合A， 有 证：若，结论成立若，则A与中由A的单点集构成的子集对等，故 下用反证法假设 ，则存在一一映射 令 则 ，唯一的 ，使 矛盾 故 Banach 引理设，则 满足 其中 （证略）定理1.2.3. (1) 对于集合A，成立 ；(2) 若 ，；(3) 若 ， (Berstein定理)证(3)：由条件，存在单射 及单射由引理，注意到， 均为一一映射，可令 为 是一一映射，得 1.3 ;1.5 可数集与不可数集对于集合A，规定 ； ， 以上称A为有限集若，称A为可数集（可列集），（元素互异）， 记

5、不是可数集的无限集称为不可数集定理1.3.1. 每一无限集必含有一个可数子集证：设A为无限集取 由于， 可取 由于， 可取 续下去，便得A的可数子集推论可数集的任一子集至多是可数集证：设 为无限子集，则 由Th1.3.1， 故 定理1.3.2. 设 为有限集或可数集)，若 ，则 至多为可数集；又，使 ，则 是可数集（可列个可数集之并是可数集）证：若 ，结论显然成立只需证明当 ， 且 时结论成立 记 ，按对角线法则，有 它是可数集定理1.3.3. 若 ，且存在，则 是可数集（有限个可数集的乘积集是可数集）证：只需证明当 时结论成立利用数学归纳法当 时，结论成立假设时，结论成立取定 ， 记 ， 则

6、 ， 由假定为可数集， 故 为可数集例1有理数集Q是可数集证：只需证明正有理数集是可数集一方面，； 另一方面， 而 ， 同理， 例2实数集 R是不可数集证：只需证明闭区间是不可数集用反证法及闭区间套定理假设 是可数集可将三等分，分点为c, d区间与中至少有一个区间不含，将它记为； 对重复上述对的讨论，可得不含 的子区间；如此以往，得闭区间列，满足：(a) ； (b) ； (c) 不含中点由闭区间套定理，唯一 故 而由(3)知，矛盾由于 是 的一一映射， 记 (连续统的势) 记S为无理数集， 定理1.3.4. 若 ， 则 证：只需证明：当 时 ； 而当 时 若 ，则 ， 而 (采用二进制小数表示

7、) 于是 若，则 ，每个可用二进制无穷小数表示为 ， ，利用对角线法则，作映射 为 显然，f是单射，于是 推论1若 ，且存在， 则 推论2若 ， 则 简证：（其余略）例3. 可列集的子集全体的势为， 即 证：记可列集，构造A的幂集到二进制小数全体的映射f，即 ，定义 ， 其中 映射 是一一映射 第二章点 集2.1.度量空间, n维欧氏空间定义2.1.1，定义 为 称d为上的Euclid 距离易证距离d满足：； ； X ， r .x A 定义2.1.2( 距离空间，Metrical Space ) x y X为非空集合，二元函数 满足：非负性：； 对称性：； 三角不等式： 称d为X上的一个距离，

8、为距离空间或度量空间如 ，称为距离子空间，开球：； 闭球：开集：，球 ，称x为A的一个内点如A中每个点都是内点，则称A为开集开球是开集；中第一象限区域（不含坐标轴）是开集记中开集全体为，则有如下结论定理2.1.1(1) ； (2) ； (3) 例：(1) 离散空间，定义 称X为离散距离空间(2) 空间， 定义，d是距离(3) 有界函数空间， 定义 ，()，d是距离称为有界函数空间取 ，记，定义2.1.3设 ， 满足：(1) ； (2) 对于有限交运算封闭：；(3) 对于任意并运算封闭：称为X上的一个拓扑( Topology )，X上安装了拓扑，是拓扑空间( Topological Space

9、) 每个 称为开集 如 ， 令 ， 称为（拓扑）子空间例：(1) 度量空间是拓扑空间，称为由距离d诱导的拓扑(2) 设 ，称是平凡拓扑空间(3) 设 ，称是离散拓扑空间(4) ，令 ，则成为拓扑空间2.2, 2.3 聚点,内点,界点 及开集闭集,完备集设是拓扑空间，定义：(1) 若 是开集，称A为闭集(2) A的闭包 (包含A的最小闭集)(3) 若，G是开集，称G为x的一个邻域邻域G，使，称x为A的内点A的内点全体称为A的核（内部），记为 （书(3)错）(4) 的邻域G，有，称x为A的边界点A的边界点全体称为A的边界，记为 显然， 互不相交，(5) 的邻域G，有 ，称x为A的聚点A的聚点全体称

10、为A的导集，记(6) ，称x为A的孤立点(7) 若 ，称A为完全集（完备集）(8) 若 ，称A为疏朗集（无处稠密集） A不在任何开集中稠密(9) ，若，称A在B中稠密它等价于：(10) 型集A：，闭集)；型集B：，开集)(11) 设B在A中稠密，称A为可分集若X可分，称X为可分空间(12) 若 ，疏朗)，称A为第一纲集；否则称A为第二纲集(13) 设 为度量空间，若存在球 ，使，称A为有界集 设 若，称B为A的一个若，A具有有限的 B，称A为完全有界集注：可取有限的 如：球 是完全有界集(14) 设， 若， 使 称收敛于x， 记 或 极限是唯一的； 收敛点列是有界集(15) 设 为度量空间，若

11、A中任一点列都存在收敛于X中点的子列，称A为列紧集 如：欧氏空间中的有界集是列紧集(16) 设 ，是开集族若，称为A的一个开覆盖若A的任一开覆盖，存在有限子覆盖：，称A为紧集 若空间X紧，称X为紧空间(17) 设为度量空间，则称为Cauchy序列（基本列） 若X中每个基本列均收敛，称X是完备的度量空间如：收敛点列必是基本列 是完备的度量空间以下假设是拓扑空间定理2.2.1（闭集的性质）(1) 是闭集；(2) 有限个闭集之并是闭集；(3) 任意多个闭集之交是闭集定理2.2.2(1) 是A的最大开子集； A为开集 (2) 是包含A的最小闭集； A为闭集(3) A为闭集 (4) (5) (6) 为度

12、量空间，则为闭集中取极限运算封闭(7) A为度量空间X中闭集若 选证：(1) 记为A的全体开子集所成之集族则，于是 是开集，且是A的最大开子集 故A为开集(3) 若A为闭集，则为开集，且由聚点定义，即，反之， 设，则， 故存在x的某个邻域G， 满足 ， ，即，说明x是的内点，是开集，A是闭集(6) 设点列，若有无穷多项互异，则；否则从而总有由(2) 得证例1. ； 由于 不成立，E不是闭集例2. ， 则 ； ； 例3. 证明的导集是闭集证：需要证是开集不是A的聚点，存在x的邻域 ，中不存在异于x的A中的点，故中的每个点均不是A的聚点于是 ， 是开集定理2.2.3 非空开集 ，有 证：设 若开集

13、G满足 则 为闭)由Th2.2.2.(2) 得 ， 于是，反之，由于为开集，由条件，得 定理2.2.4( 疏朗集的三种等价描述)(1) ； (2) 非空开集 ；(3) 非空开集G，必含有非空开子集 ，满足证：(1)(2)若开集G满足，则， 于是 (2)成立(2)(3)非空开集G，令 为G的非空开子集， 且(3)(1)反证法假设 ，由(3)，存在非空开集，满足 ，即 (闭集)， (开集)， 从而 ( )矛盾（ 错）定理2.2.5在度量空间中，完全有界集是有界的可分集证：设 为完全有界集，存在X中有限多个球 ，使 固定 ，记 ， 故 ，即 ， A有界对于，存在有限多个以A中点为中心的球，使记，则

14、D是A的至多可数子集于是， D在A中稠密，A为可分集定理2.2.6在度量空间中，列紧集是完全有界集证：反证法假设是列紧集，但A不是完全有界集，没有有限的网，使同理，不是A的网，使继续下去，得到，满足：显然，点列无收敛子列，A非列紧定理2.2.7在度量空间中，A为紧集为列紧的闭集证：只需证明：A为紧集 中每个点列均有收敛于A中点的子列“” 反证法假设存在点列无收敛于A中点的子列则时，有 现为紧集A的一个开覆盖， 存在 满足令 ，则当 从而 矛盾“” 设 A为列紧闭集，则A为完全有界集要证A是紧集，只要证明，对于A的任一开覆盖 ， ( 因为 A具有有限的网 )采用反证法假设不然，存在A的一个开覆盖

15、， 满足， 有对， 因A为列紧闭集，存在子列 ，使(开集) 而当k充分大时，有 矛盾定理2.2.8设是度量空间，则以下三条等价：(1) X是完备的度量空间；(2) 非空闭集列满足 ，则唯一的 (3) X中的完全有界集是列紧集证：(1)(2) 取当 时， 为完备空间X中的基本列记 ，闭， 的唯一性显然(2)(3)设为完全有界集，点列由完全有界集的定义，有限个以 为半径的闭球所成之集族 覆盖A于是，存在 含有中的无限多项；又存在 ，使得含有中的无限多项一般地，使得含有中的无限多项 由此知，存在的子列 满足，非空集列 满足，且 由(2)，存在，且，即， A为列紧集(3)(1)设为X中基本列，记从而，

16、 A为完全有界集 A为列紧集 故有收敛子列 显然 X为完备空间定理2.2.9设是完备的度量空间，则子空间是完备的 是闭集定理2.2.10(Baire 纲定理)完备的度量空间X必是第二纲集证：采用反证法假设X是第一纲集，则 为疏朗集 由Th2.2.4.(3) 知：对于 直径小于1的非空闭球；对于 直径小于的非空闭球，使； ； 对于 直径小于的非空闭球得非空闭球套 X完备， 这样， 矛盾定理2.2.11(完备化定理)对于度量空间，必存在一个完备的度量空间，使得等距于的一个稠密子空间在等距意义下，空间是唯一的称空间为的完备化空间（证明的思想方法与Cantor 实数理论中，把无理数加到有理数域中的方法

17、相同）等距映射：，是距离空间， 存在一一映射 满足 ，称为等距映射，空间X与Y等距例：取，d为欧氏距离 (开球，)则A为完全有界集；X完备，A也是列紧集作为距离子空间，A不完备，其完备化距离空间为 (闭球)2.4. 直线上的开集,闭集及完全集的构造2.5,康托尔三分集开区间是R中开集 () 任意多个开区间之并是开集另一方面，设开集则 记 ， 开区间具有性质：称为开集G的一个构成区间于是，G中每一点必在G的一个构成区间此外，G的任何两个不同的构成区间必不相交而R中两两不交的开区间至多可列个定理2.4.1. (开集构造定理)每个非空开集可表示为至多可列个两两不交的开区间之并： 根据完全集的定义 (

18、)及Th2.2.3(3) 可知，完全集（）即为无孤立点的闭集故有如下定理定理2.4.2. (R中完全集的构造)集是完全集 是两两不交并且无公共端点的开区间之并Cantor 集P 构造过程： 0 1 第一步：将 三等分，挖去，留下闭区间 ， 记 第二步：对，分别三等分，挖去中间的开区间 与 记 ，留下4个闭区间，第三步：对留下的4个闭区间施行同样过程将挖去的4个开区间之并记为如此继续下去记 (书错)据Th2.2.4 及Th2.4.2，Cantor 集P是疏朗集、完全集若采用三进制无穷小数表示中数，则中至少有一位是1，亦即： 可表示为由0或2作为位数过构成的无穷小数由Th1.3.4，； 第二章习题

19、16设是度量空间X中非空单调减紧集序列，证明：特别地，若 ，则 为单点集证：反证法假设， 即 ， 紧 矛盾若 ， 33证明：是不可分的距离空间证明：距离：， 假设 可分，据 (11), (9)，它有至多可列的稠密子集对于 ，存在可列多个球， 使 记， 则 ， 但 ， 存在球，至少包含A中不同的两点 这样， 矛盾空间 不可分 第三章,测度论 第一节,外侧度(1) Riemann积分回顾（分割定义域），积分与分割、介点集的取法无关。几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。（2）新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）记，则 问题：如何把长度,面积,体积概念推广?达布上和与下和上积分（

20、外包）（达布上和的极限）下积分（内填）达布下和的极限二、Lebesgue外测度(外包)1定义：设 ，称非负广义实数为开区间为的Lebesgue外测度。下确界：（1）是数集的下界，即，（2）是数集的最大下界，即使得为开区间开区间列使得且即：用一开区间列“近似”替换集合例1 设是中的全体有理数，试证明的外测度为0. 证明：由于为可数集，故不妨令作开区间则且，从而 ，再由的任意性知思考：. 设是平面上的有理点全体，则的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间2.平面上的轴的外测度为0提示：找一列包含轴的开区间3. 对Lebesgue外测度，我们用可数个开区间覆盖中的有理数全体，是否这可数个开区间也

21、覆盖（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor集的余集的构成区间）2Lebesgue外测度的性质（1）非负性：，当为空集时，（2）单调性：若则证明:能覆盖的开区间列也一定能覆盖，从而能覆盖的开区间列比能覆盖的开区间列要少，相应的下确界反而大。（3）次可数可加性证明：对任意的,由外测度的定义知，对每个都有一列开区间（即用一开区间列近似替换）使得且从而，且可见由的任意性，即得注：（1）一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界（2）外测度的次可数可加性的等号即使不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:若则当区间的直径很小时候，区间不可能同时含有

22、，中的点从而把区间列分成两部分，一部分含有中的点，一部分含有中的点.例2 对任意区间，有.思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广例3 Cantor集的外测度为0.证明：令第次等分后留下的闭区间为从而注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集.练习题1 如果将外测度的定义改为“有界集的外测度是包含的闭集的测度的下确界.”是否合理？2 设，问在什么条件下有3 对于有界集，是否必有？4设是直线上的一有界集，则对任意小于的正数，恒有子集，使2 可测集合Lebesgue外测度(外包)且为开区间开区间列使得且即：用一开

23、区间列“近似”替换集合次可数可加性(即使两两不交) 一、可测集的定义若有（Caratheodory条件），则称为Lebesgue可测集，此时的外测度称为的测度，记作.注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法.例1：零集必为可测集证明：，有 从而即为可测集。二、Lebesgue可测集的性质（1）集合可测（即 证明：(充分性），(必要性)令（2）若 可测，则下述集合也可测即可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭；若则，有注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得若两两不交，则（测度的可数可加性）.若可测，

24、则有可减性证明：由可测集的定义：有易知可测若可测已证明，则易知，也可测。若当为两两不交时，可测已证明，则通过令可把一般情形转化为两两不交的情形，通过取余即可证明下面证明若可测，则可测证明：，有 （可测）（可测）从而下面证明若两两不交，则证明：有从而 （*）另外显然有 从而可测，并用代入（*）式，即得结论例2：设中可测集满足条件，则必有正测度。证明：单调可测集列的性质(1) 若是递增的可测集列，则(2) 若 是递减的可测集列且，注：（1）左边的极限是集列极限，而右边的极限是数列极限，(2)中的条件不可少，如注：（2）若是递减集列，若是递增集列， 若可测，则 练习题1 设，能否断定可测？能否断定的

25、任一子集可测？ 2 设是可测集列，且，则3 证明：任意点集的外测度等于包含它的开集的测度的下确界，即4 设是的子集，可测，证明等式3 可测集类一、可测集例1 区间是可测集，且注：（1）零集、区间、开集、闭集、型集（可数个开集的交）、型集（可数个闭集的并）.Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。（2）开集、闭集既是型集也是型集； 有理数集是型集，但不是型集；无理数集是型集，但不是型集。有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；通过取余型集与型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）二、 可测集与开集、闭集的关系（1）若可测，则，存在开集，使

26、得且即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集），从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。（2）若可测，则，存在闭集，使得且证明：（1）当时，由外测度定义知存在开区间列，使得且令则为开集，且从而（这里用到 ）(2)当时，这时将分解成可数个互不相交的可测集对每个应用上述结果，存在开集，使得且令，则为开集，且 若(1)已证明，由可测可知，存在开集，使得且.取，则为闭集例2 设若开集，使得且，则是可测集.证明：对任意的， （开集），使得且令，则是型集且故从而为可测集.例3：设为0,1中的有理数全体， 试各写出一个与只相差一小测度集的开集和闭集。开集：闭集：空集.例4：设为

27、中的无理数全体，试各写出一个与只相差一小测度集的开集和闭集。开集: 闭集：三、 可测集与集和集的关系(1).若可测，则存在型集, 使且可测集可由型集去掉一零集，或型集添上一零集得到。(2).若可测，则存在型集, 使证明：若(1)已证明，由可测可知 型集，使得且取，则为型集 ，且(1).若可测，则存在型集, 使证明：对任意的，存在开集，使得且令，则为型集，且故例5：设为0,1中的有理数全体， 试各写出一个与只相差一零测度集的型集或型集。型集：型集：空集注：上面的交与并不可交换次序.例6：设为中的无理数全体，试各写出一个与只相差一零测度集的型集或型集。类似可证：若则存在型集使得且（称为的等测包）证

28、明: 由外测度定义知，使得且令则为开集，且令，则为型集，且 练习题1设是的子集，证明不等式2 试证有界集可测的充要条件是，存在开集及闭集，使得.3 证明可测的充要条件是：存在开集及，使第四章可测函数 4.1. 可测函数及其性质定义4.1.1设, A )是可测空间，A是代数，A，函数 若 ， 有A，称f为E上的（A）可测函数如：常值函数是 E上的可测函数定理4.1.1设, A )是可测空间，A，函数 则以下四命题等价(1) A； (2) A；(3) A； (4) A证：(1) (2) (3) 见书上(3) (4)A(4) (1)A定理4.1.2设, A )是可测空间，函数 那么：(1) 集族 A

29、 是上的代数(2) 若f在X上可测，则包含中的全体开集因此，f在X上可测A(3) 若f在X上可测，则包含中的Borel集全体B(4) 若g在上Borel可测，f在X上可测，则在X上可测证：(1) 首先，由A， 故 若 ，则A，即；若，则A， 即 ， 是代数(2) 对于，由Th4.1.1，知 而中开集均为至多可数个形如 区间的并集 由(1)得(2)(3) B是由生成的代数，而是包含的代数，(3)成立(4) B； 由(3)，A， 据(2)，在X上可测推论1设是拓扑空间，A为X上的代数，且A，若 连续，则f在X上A可测 (书错)如：取 ，则一切连续函数均为R上的Lebesgue 可测函数；上的连续函

30、数均为E上的Lebesgue 可测函数推论2R上的严格单调函数均为R上的Lebesgue 可测函数；上的单调函数均为E上的Lebesgue 可测函数证：若，则 ； 若，则 引理1(1) 若f在A上可测，则f在E的任一可测子集上可测；(2) 若f在A上可测，则f 在 上可测引理2设f和g在A上可测，则 A证：记有理数集 ，有 A定理4.1.3设f和g在A上可测，记 ，则下列函数是E上的可测函数(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) 证：(1) A知， 在E上可测若在E上可测若A； 若利用引理1(2)，在E上可测 若在E上可测(2), (3), (4) 证略(5) ，应用(4) 及Th

31、4.1.2 (4) 即可得(5)定理4.1.4设是A上的可测函数列，则 ， 均为E上的可测函数证：，由于 A；， ， 可得以上四个函数均在E上可测推论1在A上可测 正部 及负部 均在E上可测 推论2在A上收敛的可测函数列的极限函数 在E上可测简单函数：A， A 且两两不交，称为E上的简单函数定理4.1.5设是A上的可测函数， 则存在E上的简单函数列 满足 ，证：先设令 ， ， 易知，为E上非减的非负简单函数列下证 若 ，则 ，于是 若 时， 使 此时 ， 于是 ， 从而 若 是E上的一般可测函数，则由已证结论，存在E上非减的非负简单函数列与， 使 令 ， 则为简单函数， 且 于是有 ，推论1若

32、是E上的有界可测函数，则存在一致有界的简单函数列 在E上一致收敛于推论2是E上的可测函数 可表示为E上的简单函数列的极限4.2. 叶果罗夫定理几乎处处 a.e.： 设, A, 是测度空间，A为代数，存在零测集，命题P或条件P在上成立，则称P在E上a.e. 成立如：若 ，称在E上a.e.有限，记 “，a.e.于E”；若 ，记 “，a.e.于E”；若 ，记 “，a.e.于E”依测度收敛：设A，是E上的可测函数，有 ，称在E上依测度收敛于，记定理4.2.1设, A, 是测度空间，是A上的可测函数列，若 于E，则存在E上的可测函数，使 于E证：存在零测集，使 ， 令 ， 则在E上可测，且 于E推论若,

33、 A, 是完备的测度空间，则A上的可测函数列的a.e.收敛的极限函数必是E上的可测函数证：记 A，AA 则 A定理4.2.2设, A, 是测度空间，是A上的可测函数， 且 ， 则 于E证：由，可知， 故 ， 令 ， 得， 而 ， 知 引理设 ，为有限函数，则 ，有 证：，使，即 从而 说明 故 从而 (上限集为，极限存在)定理4.2.3(Lebesgue 定理) 设, A, 是测度空间，A，是E上的可测函数列，于E， a.e. 有限，则 于E证：记 ，A， 在上取值有限， 且， 有 据引理有 于是 从而 定理4.2.4(叶果洛夫定理) 设, A, 是测度空间，A，可测函数列在E上a.e. 收敛

34、于a.e. 有限的函数则，A，使上一致收敛于 ( 称在E上近一致收敛于，记为 于E)证：记 ，则 A，上取值有限，由引理知 ， 使 从而 令 ， 则 A 即为所求 事实上， 对于此， 使得 有 ，即 说明在 上一致收敛于定理4.2.5(Riesz定理，匈牙利) 设, A, 是测度空间，A，在E上可测， 于E则存在子列在E上a.e. 收敛于证： 使 注意到 ， 由Th3.2.1 (10) 得 记 ， 则 ，易知 在 上收敛于 事实上， 时 有 ， 即 关于Lebesgue 定理、叶果洛夫定理的4个注记见书上 (简说)4 3, 4 4 可测函数的构造, 依侧度收敛定理4.3.1(鲁金定理，前苏联)

35、 设为可测集E上的a.e. 有限的可测函数，则 ，存在闭集，满足 且 (限制)是有限值的连续函数证：首先，可假设为E上的有限可测函数这是由于 若闭集 满足 ， 则 ， 复记即可其次，由于在变换 下，具有相同的可测性与连续性，故可进一步假定上的有界可测函数 以下分两步证明(A) 设上的简单函数，可记 ， 两两不交、可测， 据 Th3.4.2 (2)，使 记 的闭子集，且 下证上的连续函数 ，存在唯一的，使 从而 (开集)对于中任一收敛于的点列， 于是 ， 即上的限制函数在点连续故上的限制是连续函数(B) 设上的有界可测函数据Th4.1.5 推论1，存在一致有界的简单函数列在E上一致收敛于f 据(

36、A)，使得 上的连续函数 令 的闭子集，且 由于 ，故上的一致有界连续函数，且在上一致收敛于f 在上的限制为有界连续函数定理4.3.2(鲁金定理) 设为可测集合E上的a.e. 有限的可测函数，则 ，存在R上的连续函数使得 若E是有界集，则可使的支集 为紧集证：首先，存在闭集 ，且在上的限制是有限值连续函数再据Th2.3.3，存在R上的连续函数使得 ，且 可知，的可测子集，故 若 是有界集，则存在 注意到为R中闭集，且，据Th2.3.3 前面的引理知，存在连续函数 将上述的替换为 即得所求推论设为可测E上的a.e. 有限的可测函数，则存在R上的连续函数列在E上a.e.收敛于证：由Th4.3.2，

37、上的连续函数 满足 记 ， 则 故 而 这样， ， 使 时，有 即在上每一点收敛于关系图： Lebesgue 定理 叶果洛夫 Riesz 定理 定理 第四章习题2设, A )是可测空间，为A上的可测函数列证明：的收敛点集与发散点集均为可测集证：收敛点集 ， 可测；发散点集 ，可测或者：利用 证之 ，可测； ，可测8. 测度空间, A, ，A， 于E， 证明：若 于E， 则 于E证：由Riesz 定理，存在子列，于E 但 于E， 故 于E11设f为可测集E上的a.e. 有限函数证明：若对于任一，存在闭集，使得 且f 在上的限制是有限值连续函数，则 f为E上的可测函数证： 闭集 ，使 是有限值连续

38、函数，记 ，则 均为可测集，且 ，令 得 ，从而， 有由于 ，而是完备测度，故 又由于包含R中的开集全体，据 Th4.1.2 的推论1知，f在每个上可测，所以 这样 ， f是E上的可测函数12证：(1) 由于 ， 有 ， (2) 若，则显然 ；若，则 (3) ，有 ， 所以(4) ，(5) 根据 Riesz 定理， 存在子列； 而 存在子列(不妨仍记为) 这样， 而 ， 据Lebesgue 定理知 反证法：假设不成立，使 不成立存在 及N的子列，使 但， 由已证结果知，存在子列(不妨仍记为) 矛盾. 乘积空间上的积分定义5.3.1X与Y是集合，分别取定 与，记 ，称 E的x截口（集）， E的y

39、截口（集）定义5.3.2设 为上的二元函数取定 ，定义 称为的截口（函数） 类似可定义的截口（函数）性质：若 有 ， ， 以下设 上的函数，那么：； ；定义5.3.3（乘积代数）设AX和AY 分别是X和Y上的代数，记 AX, AY 由生成的代数和代数分别称为AX与AY的乘积代数和乘积代数记 AXAY， 称 AXAY) 为可测空间, AX) 与, AY) 的乘积可测空间称为可测矩形 AXAY 中的元素称为中的可测集定理5.3.1设 AXAY) 是乘积可测空间 (1) 若AXAY，则 有 AY，AX；(2) 若 f是上的AXAY可测函数，则 上的AY可测函数；上的AX可测函数证：只对截口加以证明(

40、1) 取定，令AXAYAY 据截口集的性质知，为上的代数 而当，有 AY于是，进而AXAY 这说明：AXAY，则 AY，(2) f是上的AXAY可测函数， 开集AXAY 由(1)得 AY， 从而 上的AY可测函数引理定理5.3.2设, AX, ) 和, AY, ) 是两个有限测度空间，AX和AY是代数 y E (1) 若AXAY，定义，则是X上 Ex 的非负AX可测函数； y Ey(2) 由 AXAY) 定义的集合函数是 AXAY)上的有限测度，且 o x x，AX，AY)满足上式的乘积空间上的测度是唯一的（证略）定理5.3.3( Fubini定理 )设, AX, ) 和, AY, ) 是两个

41、有限测度空间，AX 和AY 是代数，为 AXAY) 上的可测函数(1) 若 ，则存在零测集A与零测集B，令 ， 则 ，且成立 (*)(2) 若 的两个累次积分中有一个有限，则另一个也有限； 此时在上可积，同时(*)式成立证：分三种情况讨论(1) 首先，设AXAY 则, 据前一定理，为X上非负AX可测函数，且 由积分的线性性质知，当为上的非负简单函数时，也有 (a) 其次，设为上的非负AXAY可测函数，用非减的非负简单函数列，据Levi定理，可得(a)式成立最后，设为上的一般AXAY可测函数且可积令 ，则 均在X上非负AX可测，且由 ，可知均在X上非负可积，从而在X上a.e. 有限 记 ， 则

42、再令 ， 则在X上可积，且当 时； 当 时，此外，同理可证，存在 零测集B及，使 (2) 在(1)中已证：若为上的非负可测函数，有(a)式成立在(a)式中，视作，视作相应所得的函数，则知当在X上可积时（即的“先y后x的累次积分值有限”），在上的积分值也有限，在上可积，从而在上可积由(1)即得(2)（书上错误）例1设 ， 若 ， 则 绝对收敛， 且 证：在Fubini 定理中， 取 ， AXAY=P ， 上的计数测度)， 则AXAY， 为上的计数测度， 是上的可测函数，据Fubini 定理中(2) 即得结论例2（积分的几何意义）设, A ,是有限的测度空间，是有限值可测函数，若 y f(x) y

43、= f(x) A，记曲边梯形 则 为 A上的可测集，且 证：令 o a x b x则A， 有 A，A 即 均在上A可测，故 为A可测集 于是，5.4. 广义测度（简介）5.4.1. 广义测度及 JordanHahn 分解定义5.4.1. 设, A )是可测空间，集合函数 A ，满足：(1) ；(2) (可列可加性) 若为A中两两不交的集列， 则 ；称为, A )上的一个广义测度 若 ，称为有限广义测度； 若存在A，称为有限广义测度注：类似地，可给出广义测度 A 的相应定义广义测度不具有测度的全部性质例如：(1)令，取Lebesgue 可测空间 定义：， 可验证是上的一个广义测度(2) 取测度空间, A, ， f为X上的A可测函数， 且 定义 ，A ) 则是, A )上的广义测度 特别，若 ，则是, A )上的有限广义测度 定义5.4.2. 设为, A )上的一个广义测度集A 满足： A有 ，则称E为关于的正定集（负定集）引理1若 为的正（负）定集，则A， 集合 均为的正（负）定集证：A，有 正定定理5.4.1. (1) （Hahn分解） 设, A, ) 是广义测度空间， 存在A， 使E为正定集，为负定集(2) （Jordan分解）, A )上的任一广义测度均可分解为 ，其中为A上的测度，且是有限测度进而，若为有限（或有限）广义测度，则为有