第四章 矩阵对角化问题

1、第四章 矩阵对角化问题一.单项选择题1. 设为n 阶可逆矩阵,为的一个特征根,则的伴随矩阵的特征根之一为( )A. B. C. D. 解: B.设为的属于的一个特征向量),则,即,从而.注:一般地,我们有:若为的一个特征根,则 (1)的特征根为;(2)的特征根为; (3)的特征根为; (4)若可逆,则的特征根为; (5)若,则的特征根为; (6)的特征根为.2.设为非奇异矩阵的一个特征值,则矩阵有一特征值为( ) A. B. C. D.解: B. 设为的属于的一个特征向量),则(为实数),所以, 的一个特征值为=.3.n阶方阵有n个不同的特征值是与对角阵相似的( ) A.充分必要条件 B. 充

2、分而非必要条件 C. 必要而非充分条件 D. 既非充分也非必要条件解: B.4.设为n 阶矩阵,且与相似,为n 阶单位矩阵,则( ) A. B. 与有相同的特征值与特征向量 C. 与都相似于一对角矩阵 D. 对任意常数,有与相似解: D. 二.填空题1.若四阶矩阵与相似,矩阵的特征值为,则行列式 解: 24.设为的属于的一个特征向量), 可逆,则,即 的特征值为-1,从而(2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=24.另一方面, 与相似,所以,存在可逆矩阵使得 ,即,所以与相似,相似矩阵有相同的行列式,因此, 24.2.设n阶方阵伴随矩阵为,且若有特征值,则的特征值为 解: 若的特征值为,则的

3、特征值为,的特征值为,所以, 的特征值为3.矩阵的非零特征值为 解: 4. 计算特征行列式 .所以,非零特征值为4.4.n阶矩阵的元素全是1,则的n个特征值为 解:n,0,其中0为n-1重根.(计算方法如上)三.计算题1.设(1)求的特征值;(2)利用(1)中结果求的特征值,其中为三阶单位矩阵.解: (1)所以, 的特征值为1,-5.(2)由为的属于的一个特征向量), 可逆,得,从而 ,即 的特征值为(为的特征值).所以, 的特征值为2,.2.设有三个线性无关的特征向量,求和 应满足的条件.解: 所以, 的特征值为.因为有三个线性无关的特征向量,所以特征值1有两个线性无关的特征向量,即 r()

4、=3-2=1,由秩为1可得: ,即和满足.3.设三阶实对称矩阵的特征值为1,2,3;矩阵的属于特征值1,2,的特征向量分别为(1) 求的属于特征值3的特征向量;(2) 求矩阵.解(1)设的属于特征值3的特征向量为矩阵的属于不同特征值的特征向量正交,所以,即为下列方程组的非零解:解得基础解系为.所以的属于特征值3的全部特征向量为为任意实数.(2) 记则所以, 计算得 代入得 4.已知求解: 由得 ,其中计算得 所以.5.设(1) 已知有一个特征值是3,求,(2) 求使为对角矩阵.解: (1)计算得 将代入得 (2) ,其中为对角矩阵.所以,只需求正交矩阵,使对角化.将代入解得的特征值为1,1,-

5、1,3.所以的特征值为1(三重根),9.对解对应矩阵方程,得特征向量为对解对应矩阵方程,得特征向量为.已经两两正交,将它们各自单位化后,令, 则有 6.设为的一特征向量.(1)求及特征值; (2) 可否对角化?解: (1) 设为的属于特征值的一个特征向量),则,解得 (2)将代入得 ,所以 1为的三重特征根.而 , 所以不能对角化.7.设向量为矩阵的逆矩阵的特征向量.求常数的取值.解:由题意得: 即 对应矩阵方程为 亦即 解得 8.设三阶矩阵满足其中试求矩阵.解:由题意得 ,令 ,则 用初等行变换计算得 ,代入得 9.设为四阶方阵,且满足条件其中为四阶单位阵.求矩阵的伴随矩阵的一个特征值.解:

6、 设为的属于特征值的一个特征向量), 可逆,则,所以, 为的一个特征值.由题意, 即 从而为的一个特征值.另一方面,由 得 ,所以, 从而的一个特征值为 10.设矩阵且|=-1,又设的伴随矩阵有特征值的属于特征值的特征向量为求及的值.解: 由题意得,又从而 ,对应矩阵方程为 即 (1)-(3)得=1; 代入(2)得 =-3; 代入(1),(3)得;将,=-3代入|=-1得 =2.11.设向量均为非零向量,且满足条件记求 (1) (2)矩阵的特征值和特征向量.解:(1) 其中为数,从而(2)设为的属于特征值的一个特征向量),则所以,=0,即仅有零特征值.对应特征方程组为即 由均为非零向量知中均有

7、非零分量,设为,则 所以, 基础解系包含n-1个向量,分别为的全部特征向量为 为任意实数).12.设矩阵和相似,其中 (1) 求的值;(2) 求可逆矩阵,使得解: (1)相似矩阵具有相同的特征行列式,所以，,即 解得 令得 ; 令得 ; 所以, .(2) 将=0代入得 的特征值为将=-2代入=0得的特征值同样为所以,以下只需求将对角化的可逆矩阵:分别求解特征方程 得对应特征向量为令则13. 设矩阵和相似,且 (1)求的值;(2)求可逆矩阵,使得解: (1) 矩阵和相似,相似矩阵具有相同的特征值,所以2为的二重特征值,即 解得 将代入得矩阵的特征值为2,2,6.从而.(2) 对求解矩阵方程得对应

8、的特征向量为对求解矩阵方程得对应的特征向量为令,则14.设矩阵问为何值时,存在可逆矩阵,使得为对角矩阵?并求出和相应的对角矩阵.解: 先计算特征值和特征向量: 所以, 的特征值为 对 求解特征矩阵方程 要使可以对角化,重特征根对应矩阵方程的基础解系包含向量个数应等于它的重数,所以应有,即 =0.进一步求得属于的两个线性无关的特征向量为类似可得特征根的一个特征向量为 .令则15.设矩阵已知有三个线性无关的特征向量,是的二重特征根. 求可逆矩阵,使得为对角矩阵.解: 因为有三个线性无关的特征向量,是的二重特征根.所以, , 于是应有 即 将代入得 其特征多项式为 由此得特征根为 对求解矩阵方程得对

9、应特征向量为 对求解矩阵方程得对应特征向量为.令则16.设矩阵已知线性方程组有解但不唯一,试求(1)的值; (2)正交矩阵,使得为对角矩阵.解: (1) 对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换:因为线性方程组有解但不唯一,所以故(2)由(1)有 由 得矩阵的特征值为 对应的特征向量为 将单位化得 令, 则有17.设三阶矩阵的三个特征值为,对应特征向量依次为.(1) 将用向量组线性表示;(2) 求.解: (1)令对只施行初等行变换得 所以 (2) 由得 又由得 所以 18.设有n个特征值计算解: 由题意知存在可逆矩阵,使得 故 19.设三阶实对称矩阵的特征值为对应的特征向量为求.解: 设对应的特征向量为.由属于不同特征值的特征向量正交得 解方程得对应的特征向量为 令则 所以 四.证明题四.证明题1.设为n阶矩阵,为的两个不同的特征值,分别是矩阵属于的特征向量,证明不是的特征向量.证明:假设是的属于特征值的特征向量,由题意得所以,从而 分别是矩阵属于不同特征值的特征向量,必线性无关,所以 即 矛盾.亦即 不是的特征向量.2.设方阵满足条件其中为的转置矩阵,为单位阵,证明的实