高考数学一轮复习 第十二章 概率 12.4 二项分布与正态分布 理 北师大版

1、12.4二项分布与正态分布,考纲要求:1.了解条件概率的概念,了解两个事件相互独立的概念;理解n次独立重复试验模型及二项分布,并能解决一些简单问题.2.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,1.条件概率及其性质,在古典概型中,若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数,则,2.事件的相互独立性 (1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立. (2)性质:若事件A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A), P(AB)=P(A)P(B,3.独立重复试验与二项分布 进行n次试验,如果满

2、足以下条件: (1)每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”; (2)每次试验“成功”的概率均为p,“失败”的概率均为1-p; (3)各次试验是相互独立的. 用X表示这n次试验中成功的次数,则 P(X=k)=_ (k=0,1,2,n). 若一个随机变量X的分布列如上所述,称X服从参数为n,p的二项分布,简记为XB(n,p,2)正态曲线的特点 曲线在x轴的上方,与x轴不相交; 曲线是单峰的,它关于直线x=对称; 曲线在x=处达到峰值 ; 曲线与x轴之间的面积为1; 当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移; 一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;越小,

3、曲线越“瘦高”,总体分布越集中,3)正态分布的定义及表示:如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足 ,则称随机变量X服从正态分布,记作XN(,2,2,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)条件概率一定不等于它的非条件概率. () (2)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立. () (3)相互独立事件就是互斥事件. () (4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B). () (5)X服从正态分布,通常用XN(,2)表示,其中参数和2分别表示正态分布的均值和方差. (,2,3,4,1,5,2.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球,不放回地

4、依次从中摸出两个小球,则在第一次摸得红球的条件下,第二次仍是红球的概率为(,答案,解析,2,3,4,1,5,3.(2015课标全国,理4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为() A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312,答案,解析,2,3,4,1,5,4.(2015山东,理8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为() (附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-2+

5、2)=95.44%.) A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74,答案,解析,2,3,4,1,5,5.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次,每次抽1张,已知第1次抽到A,则第2次也抽到A的概率为,答案,解析,2,3,4,1,5,自测点评 1.两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两个事件相互独立是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,两个事件相互独立不一定互斥. 2.在古典概型中,A发生的条件下B发生的条件概率公式为 3.P(AB)=P(A)P(B)只有在事件A,B相互独立时,公式才成立,此时P(B)=P(B|A). 4.判断一个随机变量是否服从二

6、项分布,要看两点: (1)是否为n次独立重复试验.在每次试验中事件A发生的概率是否均为p; (2)随机变量是不是在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1条件概率 例1(1)(2015云南丽江高三检测)把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A,“第二次出现反面”为事件B,则P(B|A)等于(,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于(,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点

7、4,知识方法,易错易混,思考:求条件概率有哪些基本的方法? 解题心得:求条件概率的基本方法有两个: (1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由 ,求P(B|A); (2)基本事件法:借古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练1(1)已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,则两次都取到红球的概率是(,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,2)盒中有红球5个,蓝球1

8、1个,其中红球中有2个玻璃球,3个木质球;蓝球中有4个玻璃球,7个木质球,现从中任取一球,假设每个球被摸到的可能性相同.若已知取到的球是玻璃球,则它是蓝球的概率为,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点2相互独立事件同时发生的概率 例2在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: (1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列; (2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混

9、,解:(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/千克”. 由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4, 利润=产量市场价格-成本, X所有可能的取值为 50010-1 000=4 000,5006-1 000=2 000, 30010-1 000=2 000,3006-1 000=800,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:如何求复杂事件的概率?求相互独立事件同时发生的概率有哪些常用的方法? 解题心得:1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的

10、和事件或转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,然后求概率. 2.求相互独立事件同时发生的概率的方法: (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练2甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品,甲机床生产的正品率是0.9,乙机床生产的正品率是0.95. (1)从甲机床生产的产品中任取3件,求其中恰有2件正品的概率(用数字作答); (2)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件,求其中至少有1件正品的概率(用数字作答,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点

11、3独立重复试验与二项分布 例3某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率; (2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:二项分布满足的条件有哪些? 解题心得:1.

12、依据定义“在同样条件下重复、各次之间相互独立地进行”对独立重复试验判断即可. 2.二项分布满足的条件: (1)在每次试验中,事件发生的概率是相同的; (2)各次试验中的事件是相互独立的; (3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生; (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练3某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶,若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料. (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (2)求中奖人数X的分布列,考点

13、1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点4正态分布下的概率 例4(1)(2015湖北,理4)设XN(1, ),YN(2, ),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是() A.P(Y2)P(Y1) B.P(X2)P(X1) C.对任意正数t,P(Xt)P(Yt) D.对任意正数t,P(Xt)P(Yt,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,2)(2015湖南,理7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为() A.2

14、 386B.2 718 C.3 413D.4 772 附:若XN(,2),则P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:如何求正态分布在某一个区间上的概率? 解题心得:解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解,要注意数形结合思想及化归思想的运用. (1)熟记P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)的值; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 正态曲线关于直线x=对称,从而在关于x=对称的区间上概率相同.

15、 P(Xa)=1-P(Xa),P(X-a)=P(X+a,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练4(1)已知随机变量X服从正态分布N(2,2),且P(X4)=0.8,则P(0X2)=() A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,2)(2015河北衡水质检)某班有50名学生,一次考试后数学成绩X(XN)服从正态分布N(100,102),已知P(90X100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,1.牢记且理解事件中常见词语的含义: (1)A,B中至少有一个发生的事件为AB; (2)A,B都发生的事件为AB,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,2.相互独立事件是指两个事件发