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文档简介

1、第二章 分离变量法,一、有界弦的自由振动,二、有限长杆上的热传导,三、拉普拉斯方程的定解问题,四、非齐次方程的解法,五、非齐次边界条件的处理,六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数,适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等,特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化,令,带入方程,令,带入边界条件,1 求两端固定的弦自由振动的规律,一 有界弦的自由振动,特征（固有）值问题：含有待定常数常

2、微分方程在一定条 件下的求解问题,特征（固有）值：使方程有非零解的常数值,特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解,分情况讨论,1,2,3） 令 ， 为非零实数,分离变量,求特征值和特征函数,求另一个函数,求通解,确定常数,分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程,2 解的性质,x=x0时,其中,驻波法,t=t0时,例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移,解,弦的振动,振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波,解,例2求下列定解问题,初始条件,若l=1,a=10时的震动,例3 求下列定解问题,解,例4 求下列定解问题,令,带入方程,解,二 有限长杆上的热传导,令,带入方程,解,令,令,带入方程,令,例5 求下列定解问题,解,例6 求下列定解问题,解,若 则u为多少？为什么会出现这样的现象,思考,若,有界杆上的热传导（杆的两端绝热,分离变量流程图,三 拉普拉斯方程的定解问题,1 直角坐标系下的拉普拉斯问题,解,例7 求下列定解问题,解,例8 求下列定解问题,解,2 圆域内的拉普拉斯问题,欧拉方程,例9 求下列定解问题,解,欧拉方程,令,例10 求下列定解问题,解,欧拉方程,令,其它为零,例12 求下列定解问题,解,欧拉方程,其他为零,例13 求下列定解问题,解,例13 求

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