七年级新思维9-绝对值与方程

1、9.绝对值与方程问题解决例1 方程x _5 +2x 的解是【答案】 由 | x5 |= _52x，得 x5=_ 52x或X5=_ 卜5- 2 X ，所以 x = 0或 x = _10 .经检验知x=0时，方程左右两边不等，故舍去从而原方程的解为Xm-10 .例2 若关于x的方程2x_3|-m=0无解，3x -4n=0只有一个解，4x_5 k =0有两个解，则m , n , k的大小关系为（）.A . mnkB . nkmC. k m nD . m k n【答案】A |2x-3|=_m ,|3x_4|二 _n ,|4x5|=_k，由题意得-m： 0 ,n= 0,- k. 0,从而m . 0, n

2、 =0, k 0.例3解下列方程：(1)x3x 1=4 ;（天津市竞赛题）(2)x 亠3 - x -1 =x T ;（北京市“迎春杯”竞赛题）(3)x 1 x -3 =4.（“希望杯”邀请赛试题）(1)53x =-或x =.原方程化为x|3x 1|=4或x|3x 1-4，即42|3x 1x -4 或 |3x 1x - 4.(2)当 x ：七时，原方程化为 -(x 3) (x -1) =x 1 ,得x =-5 .当-3 1时，原方程化为 x （x -1x 1，得x=3 .综上知原方程的解为 x -与,-1, 3 .（3 ）由绝对值的几何意义得原方程的解为-1 x 3时，原方程有两解；(2 )当a

3、 =3时，原方程有无数解(2 x 5) ; ( 3)当av3 时，原方程无解.数学冲浪知识技能广场1 11 .若x =9是方程x 一2 =m的解，贝U m=;又若当n =1时，则方程 x2 = n的3 3解是.【答案】1; 9或32方程|3x1 = 2x+1的解是 ; x=是方程3(x -1)=凶+1的解；解方程53990x 1995 =1995，得 x =.【答案】2或0;_!； 0或-17，3. (湖北省荆州市中考题)如果 x -2 (x-y 3)2二0,那么(x y)2的值为1x一1=0，贝U a的值为2 D . -10 或-5).D . 19 或-21【答案】494. (山东省竞赛题)

4、已知关于x的方程ax 2(x)的解满足( ).2 22A . 10 或B . 10 或C . -10 或555【答案】A5. (重庆市竞赛题)若 2004x 2004 =20 2004，贝U x等于(A . 20 或-21B . -20 或 21C . -19 或 216.方程m 8 m=0的解的个数为(A . 2个B . 3个【答案】C7 .解下列方程1(1) 4 2 X +1 =3 ；2(3)3x-5卜4=8 ;【答案】D).C .无数个D .不确定(2) x _2 =2x -1 ;(4) x -2x 1=3 .1【答案】(1) x = -1 或 x = -3 ; ( 2) x=1 ; (

5、 3) x = 3 或 x=-;34&求关于x的方程| |x_2_a =0（0v avl）的所有解的和.【答案】|x _2|=1 _a（0 ：a ：1）, x_2= （1_a）, x=2_（1_a）,得X =3a ,x2= 3a,x3= 1 a ,x4= 1a ,故 xx2x3x4= 8.9. 解方程 | |x 3 -2 =k .【答案】当k ：,0 ,原方程无解；当k =0时，原方程有两解：x = _1或x = _5 ;当0 ： k ： 2时， 原方程化为|x3|=2_k，此时原方程有四解：x=-3_（2_k）;当k =2时，原方程化为|x ,3=2 _2，此时原方程有三解：x =1或x -

6、 一7或x亠3 ；当k 2时，原方程有两解：x - -3 _（2 k）.思维方法天地10. （希望杯”邀请赛试题）已知a、b、c、d都是整数，且a _|b c - c | d a = 2 ,贝U a +d =.【答案】0或1 |d+a|w 2 ,又a、d都是整数，得|d+a|=2 , 1, 0.当|d+a|=2,则a = -b =c = -d ,即 d +a =0 矛盾；若 |d+a|=1 令 a = ,1 b=c=d 足题意；若| d a - 0 令 b =1, a=c=d=0 满足题意.11. （山东省竞赛题）若 x、X2都满足条件 2xT，2x，3=4，且x x?，则x-x?的取值 范围

7、是.【答案】-2 x 一役:012. （“华罗庚杯”邀请赛试题）满足方程| | x-2006 -1 +8 =2006的所有x的和为.【答案】401213. （武汉市选拔赛试题）若关于x的方程 x-2-1 =a有三个整数解，则a的值为（）.A . 0B . 2C. 1D. 3【答案】C14. 方程2a - 7 a -1 =8的整数解的个数有（）.A . 5B . 4C . 3D . 2【答案】B由数轴知-7 2a 1，且2a为偶数15 .若 a是方程 2004 -a =2004 a 的解，贝U a-2005 等于（）.A . a -2005B . -a - 2005C . a 2005D . -

8、a 2005【答案】D a w 016 .（第69届“莫斯科”市竞赛题）解下列方程（1） x -2005| “|2005 -x =2006 ；(2) x _ V:； x _ 5 =4 .【答案】(1) 1002或3008可以得到2 |x _2005|=2006;(2) 1 4,得(|x 1| |x-2|)(|y-2| |y 1|)(| z-3| z 1|) 36 .当且仅当-1 w xw 2, -1 w y w 2 , - 1w z w 3时，上面各式等号成立.又(|x 1| |x2|)(|y-2| |y 1|)(|z3| |z 1|) =36 ,-1 w x w 2 由-1 w y w 2得

9、+X 2+x 3, -6 w x 2y 3z w 15，因此，x 2y 3z的最大值-1 w z w 3 为15,最小值为-6 .从三阶幻方谈起(微探究)问题解决例1(北京市“迎春杯”竞赛题)如图，有 9个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等.问：图中左上角的数是多少？HP3图x1x2x4图【答案】由已知条件得：xx1x2=xx3x =x1x3 13 = x219x4，这样前面两个式子之和等于后面的两个式子之和，即2xx1x2x3x4=13 19 xx2x3x4, . 2x =13 19 ,得x =16.例2（“希望杯”邀请赛试题）如图，在的正整数：1

10、 , 2, 3, 数的和都相等，请确定【答案】a - b与 c d3 3的方格表中填入九个不同4, 5, 6, 7, 8和x .使得各行、各列所填的三个 x的值，并给出一种填数法.的最小值是12 3 4 =5，所以2x12仝 5 ,3x 21 .而22 xa b =12为整数，且x是不同于1, 2, 3, 4, 5,3例3（美国南卡罗来纳大学高中数学竞赛试题）如图，a、b、c、d、e、f、g、h、i 分别代表 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内3个数的和都相等，那么a d g的值是多少？分析与解 设这个相等的和是 S，现将这9个小圆中

11、（3 9）=27个 数求和，可得：6，7，8的正整数,a93457fe69S =(1 2 川 9)2 (a b c d e f g h i) =3 (1 2 III 9) =3 45-，故 S =15 .先从9所在的小圆看，h至少是1, i最多只能是5,再从1所在的 小圆看，a最多只能是9,由于1 i a 15 ,所以必须i =5, a = 9, 由此可以求得图.对照图与图中各数的位置，可看到a d g =9 3 6 =18 .当然也可以有另一解法.将含1、含2、含4、含5、含7与含8的6个小圆内（3 6 =）18个 数求和，可得：6 15 =1 2 4 5 78 （a b c d e f g

12、 h i） a d g ，即 90 =72 a d g，所以 a d g =90-72 =18 .练一练1.（世界数学团体锦标赛试题）将 2到10这9个自然数填入图中的 圆圈中，每个数只能用一次， 且使每一条直线上的三个数的和相同，图9个则中间的圆圈中的数是 ，对应的每一条直线上的3个数的和是【答案】2, 6, 10; 15, 18, 21设中间的圆圈中的数是 x，同一直线上的3个数的和是y，则44y _3x =2 3 山 10 =54 , x=4y_18 .32. （时代学习报数学文化节试题）请构造“幻角”，将110这10个整数填入图中的小三角形内（2和4已填好），使图中每个大三角形内四数之

13、和都等于25.【答案】如下面第2题图请将 _4 , - 3 , - 2 , -1 ,0,1 ,2 ,9个空格，使3行、3列、2条对角线上的3个数的和3. （时代学习报数学文化节试题）3 , 4，这9个数分别填入图中方阵的都是0.【答案】如图（第 2题）（第 3题）4-1ab3cdef（第 4题）12-4043-2-14. （上海市竞赛题）如图， a、b、c、d、e、f均为有理数，图中各行各列及两条对角线上 的和都相等，求 a b c d e f的值.【答案】由条件得：4-a =9, b 3 9, d f 9 .上述三式相加有 a b c d e f 6 = 27，故 a b c d e f=2

14、1 .5. （“两岸四地”数学邀请赛试题）如图是一个3 3的幻方，当空格填了适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是相等的，求k的值.【答案】 如图，由 a k b =a c 121 及c d 11 =b d 121,得 k b =c 121,如第1行为6, 231 , 111;c =b 110,从而k =110 121 =231 （注：这个幻方是可以完成的, 第 2 行为 221, 116, 11;第 3 行为 121, 1, 226）.k11121（第 5题）32x64（第6题）akbcd111216 .（上海市竞赛题）图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数:1，1,1,2，4

15、 ,8,16 ,32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，4 2求x的值.【答案】这9个数的积为113一1 2 4 8 16 32 64 =64，所以每行、每列、每条对角4 2线上三个数字积为64,得ac=1, ef =1, ax =2 , a、c、e、f分别为-、1、2、4个的某4 2个数，推得x =8 .32axbcde64f7幻方第一人（时代学习报数学文化节试题）幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图，洛书中 3行、3列以及2条对角线上的点数 之和都等于15,是一种“ 3阶幻方”（如图）.我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进 行系统研究的第一人，他在续古摘奇算法一

16、书中给出从3阶到10阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了对称思想例如，用1 , 2, 3,，16构造4阶幻方的方法是：先将1, 2, 3,，16依次排成图，然后以外四角对换，即1与16对换，4与13对换，再以内四角对换请你在图中填写用这种“对换”方法得出的4阶幻方.Hjd17JZ图13951141062151173161284图图【答案】略& （山东省竞赛题）把数字个圈内，要求三角形ABC和三角形DEF的每条边上三个圈内数 字之和都等于18.（1）给出一种符合要求的填法；（2 ）共有多少种不同填法？证明你的结论.【答案】（1 ）略（2）显然有 x y z =1，2*9= 45力

17、中六条边，每条边上三个圈中之数的和为 z 3y 2x 6 18 =108 .-，得 x 2y =108 -45 =63 .把AB、BC、CA每一边上三圈中之数的和相加， 联立、解得 x =15, y =24，进而z = 6 .在19中三个数之和为 24的仅有7, 8, 9,1, 2, 3，9分别填入图中的9（第8题）18,2x y =3 18 =54 .所以在D、E、F三处圈内,只能填 7, 8, 9三个数，共有6种不同填法.显然，当这三个圈中之数一旦确定，根据题目要求，其余六个 圈内之数也随之确定，从而得到结论，共有6种不同的填法.商品的利润（微探究）例1（陕西省中考题）一家商店将某件商品按

18、成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润 元.【答案】设成本为a，则a（1 50%） =450，得a =300，所求利润为450 X 0.8-300=60（元）.例2 （重庆市竞赛题）某商店出售某种商品每件可获利m元，利润率为20% .若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为（ ）.A. 25%B . 20%C. 16%D . 12.5%【答案】C设原进价为a元，提价后的利润率为x%，则m =a2C%二a（1 25%） % ,解得 x% =16% .例3 （第23届“五羊杯”竞赛题）某房地产开发商开发一套房子的

19、成本随着物价上涨比原来增加了 10%，为了赚钱，开发商把售价提高了0.5倍，利润率比原来增加了60%，求开发商原来的利润率.【答案】设原来的利润率是x%，原来的成本是a,则 1.5a（1 0.01x（1 0.1）a1 0.01（x 60），解得 x =6 5，即原来的利润率是 65% .例4 （江苏省竞赛题）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1 ）若一次购物少于 200元，则不予优惠；（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；（3） 若一次购物超过 500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予8折优 惠.小明两次去该超市购物，分别付款198元与554

20、元.现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？分析与解 第一次付款198元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按发九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论.情形1当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元，又554=450+104，其中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱， 1040.8 =130 （元）. 因此，554元所购物品的原价为 130+500=630 （元），于是购买小明花 198+630=828 （元）所 购的全部物品，小亮一次性购买应付 500 0.9 （828 -500） 0.8 =712.4 （元）.

21、情形2当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为198亠0.9=220 （元）.仿情形1的讨论，购220+630=850 （元）物品一次性付款应为 500 0.9 *（850 -500） 0.8 =730 （元）.练一练1 .某商品的进价为 x元，售价为120元，则该商品的利润率可表示为 .【答案】匹岂x2.（黑龙江省齐哈尔市中考题）某商店老板将一件进价为800元的商品先提价 50%，再打八折卖出，则卖出这件商品所获利润为 元.【答案】1603 .（沈阳市中考题）某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元

22、，则用贵宾卡又享受了 折优惠.【答案】九4. （宁夏中考题）某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”，你认为售货员应标在标签上的价格为 .【答案】1205. （ 2012年陕西省中考题）一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件按原销售价的八折销售，售价为 120元，则这款羊毛衫每件的原销售价为 元.【答案】1506. （第22届“希望杯”邀请赛题）甲用 1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利10% 而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙若上述股票交易中的其他费用忽略不

23、计，则甲（）.A .盈亏平衡B .盈利1元C.盈利9元D .亏损1.1元【答案】B7. （兰州市中考题）2008年爆发的世界金融危机，是自20世纪30年代以来世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价 a%后售价为148兀，下列所列方程正确的是（).A . 200(1 a%)2 =148B .200(1 a%)2 =148C . 200(1 -2a%) =148D .2200(1 a %) =148【答案】B& （重庆市中考题）某商店出售某种商品每件可获利m元，利润率为 20% .若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提

24、价后的利润率为（ ）.A . 25%B . 20%C . 16%D . 12.5%【答案】C设提价后的利润率为 x%，则-（V 25%）（1 x%）= （1 25%） m,解得 20% 20%x =16 .9.（山东省荷泽市中考题）某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（）.A . 6折B . 7折C . 8折D . 9折【答案】B10 .（全国初中数学联赛题）某商场对顾客实行优惠，规定： 如一次购物不超过 200元，则不予折扣； 如一次购物超过 200元但不超过500元，按标价给予九折优惠； 如一次购物超过

25、500元，则其中500元按第条给予优惠， 超过500元的部分则给予八折 优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（ ）.A . 522.8 元B . 510.4 元C . 560.4 元D . 472.8 元【答案】C提示：168 200 0.9 =180，没有经过打折；423 ：:500 0.9 =450，且大于200,所以这是经过9折后的价格；合在一起是168+423-P.9 =638 500，按照，可得应付款为500 0.9 138 0.8 =560.4 （元）.11 .（云南省昆明市中考题）某商场用 2500元购进A、B两种新型节能台灯

26、共 50盏，这两 种台灯的进价、标价如下表所示：类别价格A型B型进价（元/盏）4065标价（元/盏）60100（1）这两种台灯各购进多少盏？（2） 若A型台灯按标价的九折出售，B型台灯按标价的八折出售，那么这批台灯全部售完 后，商场共获利多少元？【答案】（1）A型台灯购进30盏，B型台灯购进20盏；（2）这批台灯全部售完后，商场共获利720元.12. （重庆市中考题） 某公司销售A、B、C三种产品，在去年的销售中，高新产品C的销售金额占总销售金额的 40% .由于受国际金融危机的影响，今年A、B两种产品的销售金额都将比去年减少 20%，因而高新产品 C是今年销售的重点.若要使今年的总销售金额与

27、去年 持平，问：今年高新产品 C的销售金额应比去年增加多少？【答案】设去年总销金额为 a，则高新产品 C的销售金额为0.4a, A、B的原销售金额为0.6a ,今年的销售金额为0. 6 （1-20% 0a4,8设高新产品C的增长率为x ,由 0.4a （1x 片 0.4cA a 得 x =0.3 =30% .13. （海南省竞赛题）某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不 给优惠，超过100元而不超过300元时，按该次购物全额 9折优惠，超过300元的其中300 元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了 94.5元和282.8元，则小丽 决定一次购买小美分

28、两次购买的同样的物品，那么小丽应该付款多少元？【答案】注意到100 0.9 =90 94.5 乙（乙）师小时，比乙多行了 （20-5）=3x （千米）这时老师让甲步行前进， 而自己返回接乙,202043 x遇到乙时，用了 x（25亠5）（小时）.乙遇到老师时，4 40已经步行了2040米）,离博物馆还有33中（千米）.要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有3x =33 x，解得x =24 .即甲先乘摩托车824千米，用时1.2小时，再步行9千米，用时1.8小时，共计3小时.因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时.另解：设乙先步行的时间

29、为小时，步行的路 程为s2，则s2 =5x （千米），此时老师带甲走的路程为33-S2 =33 -5x （千米），老师返回学校博物馆甲（师）乙siS2S2乙（师）33 53310接乙走的路程为 33 -2s2 =33 -10x .故有3 =x，解得x =1.8，甲乘车的时2025间为詈七（小时），故甲从学校到博物馆共用8 “2二3 （小时）.练一练1. （江苏省竞赛题）甲、乙两人从两地同时出发, 则b小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为若相向而行，则a小时相遇；若同向而行,【答案】b -a2. （“希望杯”邀请赛试题）一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木

30、筏由甲地漂流至乙地，需 小时.【答案】243. 甲、乙两列客车的长分别为 150m和200m，它们相向行驶在平行的轨道上.已知甲车上 某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间为 10秒，那么，乙车上的乘客看见甲车在他窗口外 经过的时间是.【答案】7. 5先求出甲、乙两车速度和为 200 =20 （米/秒）104. （“希望杯”邀请赛试题）甲、乙分别自A、B两地同时相向步行，2小时后中途相遇.甲、 乙步行速度都提高了 1千米/时，当甲到达B地后立刻按原路向 A地返行，当乙到达 A地后 也立刻按原路向 B地返行.甲、乙两人在第一次相遇后 3小时36分又再次相遇，则A、B两 地的距离是千米.【答案】36设

31、A、B两地相距skm,甲、乙两人速度和为 v，贝U 2V，解得（2s = （v+2）汉 3.6s =36 .5甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A到B，甲需要30分钟，乙需要40分钟.如果乙比甲早出发6分钟，则甲出发后经 分钟可以追上乙.【答案】186. （北京市“迎春杯”竞赛题）甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线 运动），如果当甲到达终点时，乙距终点还有5米，丙距终点还有10米，那么当乙到达终点时，丙距终点还有 米.5 V 19【答案】5设甲跑全程需时1 ,则v乙t =95 , v丙 t =90,又设乙跑完全程需时t2 ,10018001919v丙 18则 v乙t2 =10

32、0, v丙t18v乙t2 =1800，此时丙离终点为19197. （广西南宁市中考题）小李骑自行车从 A地到B地，小明骑自行车从 B地到A地，两人 都匀速前进.已知两人在上午 8时同时出发，到上午 10时，两人还相距 36千米，到中午 12时，两人又相距 36千米，求A、B两地间的路程.【答案】设A、B两地间的路程为x千米，由 匸色二乞空,得x=108（千米）.24&（浙江省嘉兴市中考题）目前自驾游已成为人们出游的重要方式.“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公 路途径舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了 4.5小时；返回时平均速度提高了10千米/时，比去时少用了半小时回到

33、舟山.（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表:大桥名称舟山跨海大桥1杭州湾跨海大桥大桥长度48千米:36千米过桥费100元80元据浙江省交通部门规定：轿车的高速公路通行费 y （元）的计算方法为： y =ax b 5，其 中a （元/千米）为高速公路里程费，x（千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），b（元）295.4元，求轿车的高为跨海大桥过桥费.若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为速公路里程费a .【答案】（1） 360千米；（2） a=0.4元/千米.9. （河北省竞赛题） 铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度 为3.6千米/时，骑车人的速度为 10.8千米/时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行