平行四边形(12)

1、平行四边形平行四边形是一种极重要的几何图形这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：(1)平行四边形对角相等；(2)平行四边形对边相等；(3)平行四边形对角线互相平分除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例1 如图2-32所示在A

2、BCD中，AEBC，CFAD，DN=BM求证：EF与MN互相平分分析 只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手证 因为ABCD是平行四边形，所以ADBC，ABCD，B=D又AEBC，CFAD，所以AECF是矩形，从而AE=CF所以RtABERtCDF(HL，或AAS)，BE=DF又由已知BM=DN，所以BEMDFN(SAS)，ME=NF 又因为AF=CE，AM=CN，MAF=NCE，所以MAFNCE(SAS)，所以 MF=NF 由，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分例2 如图2-33所示RtABC中，BAC=90，ADBC于D，BG

3、平分ABC，EFBC且交AC于F求证：AE=CF分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系若作GHBC于H，由于BG是ABC的平分线，故AG=GH，易知ABGHBG又连接EH，可证ABEHBE，从而AE=HE这样，将AE“转移”到EH位置设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解证 作GHBC于H，连接EH因为BG是ABH的平分线，GABA，所以GA=GH，从而ABGHBG(AAS)，所以 AB=HB 在ABE及HBE中，ABE=CBE，BE=BE，所以 ABEHBE(SAS)，所以 AE=EH，BEA=BEH下面证明四边形EHCF是平行四边形因为ADGH，所以AEG=

4、BGH(内错角相等) 又AEG=GEH(因为BEA=BEH，等角的补角相等)，AGB=BGH(全等三角形对应角相等)，所以AGB=GEH从而EHAC(内错角相等，两直线平行)由已知EFHC，所以EHCF是平行四边形，所以FC=EH=AE说明 本题添加辅助线GHBC的想法是由BG为ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与HBG继而发现ABEHBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的例3 如图2-34所示ABCD中，DEAB于E

5、，BM=MC=DC求证：EMC=3BEM 分析 由于EMC是BEM的外角，因此EMC=B+BEM从而，应该有B=2BEM，这个论断在BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样B=MCF及BEM=F，因此， 只要证明MCF=2F即可不难发现，EDF为直角三角形(EDF=90)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开证 延长EM交DC的延长线于F，连接DM由于CM=BM，F=BEM，MCF=B，所以MCFMBE(AAS)，所以M是EF的中点由于ABCD及DEAB，所以，DEFD，三角形DEF

6、是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知F=MDC，又由已知MC=CD，所以MDC=CMD，则MCF=MDC+CMD=2F从而EMC=F+MCF=3F=3BEM例4 如图2-35所示矩形ABCD中，CEBD于E，AF平分BAD交EC延长线于F求证：CA=CF分析 只要证明CAF是等腰三角形，即CAF=CFA即可由于CAF=45-CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与CAD相等的角a，使得CFA=45-a为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明FCH=CAD证 延长DC交AF于H，显然FCH=DCE又在RtBCD中，由于CEBD，故DCE=DBC因

7、为矩形对角线相等，所以DCBCDA，从而DBC=CAD，因此，FCH=CAD 又AG平分BAD=90，所以ABG是等腰直角三角形，从而易证HCG也是等腰直角三角形，所以CHG=45由于CHG是CHF的外角，所以CHG=CFH+FCH=45，所以 CFH=45-FCH 由，CFH=45-CAD=CAF，于是在三角形CAF中，有CA=CF例5 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)求证：分析 作BAF的平分线，将角分为1与2相等的两部分，设法证明DAE=1或2证 如图作BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则1=2=3，所以FA=FH设正方形边长为a，在RtADF中，从而

8、所以 RtABGRtHCG(AAS)，从而RtABGRtADE(SAS)，例6 如图2-37所示正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G求证：GHD是等腰三角形分析 准确地画图可启示我们证明GDH=GHD证 因为DEBC，所以四边形BCED为平行四边形，所以1=4又BD=FD，所以所以 BC=GC=CD因此，DCG为等腰三角形，且顶角DCG=45，所以又所以 HDG=GHD，从而GH=GD，即GHD是等腰三角形练习十二（1） 如图2-38所示DEAC，BFAC，DE=BF，ADB=DBC求证：四边形ABCD是平行四边形2如图2-3

9、9所示在平行四边形ABCD中，ABE和BCF都是等边三角形求证：DEF是等边三角形3如图2-40所示ABCD中，AF平分BAD交BC于F，DEAF交CB于E求证：BE=CF4如图2-41所示矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA求证：BEDE5 如图2-42所示在正方形ABCD中，CE垂直于CAB的平分某高科技公司根据市场需求，计划生产A、B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：信息一：A、B两种型号的医疔器械共生产80台信息二：该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元，但不超过1810万元且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械信息三：A、B两种医疗器械的生产成本和售价如下

10、表：型号AB成本（万元/台）2025售价（万元/台）2430根据上述信息解答下列问题：（1）该公司对此两种医疗器械有哪几种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？（2）根据市场调查，每台A型医疗器械的售价将会提高a万元（a0）每台B型医疗器械的售价不会改变该公司应该如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价-成本）2（2011潘集区）近几年，潘集区为加快农业产业结构调整，大力发展酥瓜种植产业，香甜的酥瓜远销到全国许多大中城市，现有一批新鲜的酥瓜要运往A市销售，有火车、汽车两种运输方式，现只可选择两种运输方式的其中一种，这两种运输方式的主要参考数据如下表所示：运输工具途中速度途中费用装卸费用装卸时

11、间火 车100（千米/小时）6（元/千米）2000（元）4（小时）汽 车50（千米/小时）8（元/千米）1000（元）2（小时） 若这批酥瓜在运输（包括装卸）过程中的损耗为200元/小时，设潘集区距A市x千米（1）如果用W1、W2分别表示用火车、汽车运输时的总费用（包括损耗），分别写出W1、W2与x的解析式（2）潘集到上海的距离是600公里、潘集到南京的距离是280公里，你会选择什么样的运送酥瓜？为什么？今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大早，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：月用水量（吨）

12、单价（元/吨）不大于10吨部分1.5大于10吨不大于m吨部分（20m50）2大于m吨部分3（1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；（2）记该用户六月份用水量为x吨，缴纳水费为y元，试列出y关于x的函数式；（3）若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70y90，试求m的取值范围? （2011黑龙江）汶川灾后重建工作受到全社会的广泛关注，全国各省对口支援四川省受灾市县我省援建剑阁县，建筑物资先用火车源源不断的运往距离剑阁县180千米的汉中市火车站，再由汽车运往剑阁县甲车在驶往剑阁县的途中突发故障，司机马上通报剑阁县总部并立即检查和维修剑阁县总部在接到通知后第12分钟时

13、，立即派出乙车前往接应经过抢修，甲车在乙车出发第8分钟时修复并继续按原速行驶，两车在途中相遇为了确保物资能准时运到，随行人员将物资全部转移到乙车上（装卸货物时间和乙车掉头时间忽略不计），乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达剑阁县下图是甲、乙两车离剑阁县的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象请结合图象信息解答下列问题：（1）请直接在坐标系中的（）内填上数据（2）求直线CD的函数解析式，并写出自变量的取值范围 （3）求乙车的行驶速度 海峡两岸林业博览会连续六届在三明市成功举办，三明市的林产品在国内外的知名度得到了进一步提升现有一位外商计划来我市购买一批某品牌的木地板，甲、乙两经销商都经

14、营标价为每平方米220元的该品牌木地板经过协商，甲经销商表示可按标价的9.5折优惠；乙经销商表示不超过500平方米的部分按标价购买，超过500平方米的部分按标价的9折优惠（1）设购买木地板x平方米，选择甲经销商时，所需费用为y1元，选择乙经销商时，所需费用为y2元，请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请问该外商选择哪一经销商购买更合算？（2011黑龙江）2010年6月5日是第38个世界环境日，世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”为了响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型（电动汽车）和B型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需

15、求市场营销人员经过市场调查得到如下信息：成本价（万元/辆）售价（万元/辆）A型3032B型4245（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由15、（2011深圳）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A

16、馆18台、运往B馆14台；运往A、B两馆的运费如表1： 表 1 出发地 目的地甲地乙地A馆 800元/台 700元/台 B馆500元/台 600元/台 表 2出发地目的地 甲地乙地 A馆x台 _（台） B馆 _ （台） _ （台） （1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费元y（元）与x （台） 的函数关系式；（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；（3）当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？22一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行

17、驶时间为x（h），y1y2与x之间的函数关系图象如图所示： （1）根据图象，直接写出y1，y2与x之间的函数关系；（2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式23将正面分别标有数字1，2，3，4，6，背面花色相同的五张卡片沅匀后，背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两张（1）写出所有机会均等的结果，并求抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率；（2）记抽得的两张卡片的数字为（a，b），求点P（a，b）在直线y=x-2上的概率24（2011攀枝花）某经营世界著名品牌的总公司，在我市有甲、乙两家分公司，这两家公司都销售香水和护肤品总公司现香水70瓶，护肤品30瓶，分配给甲、乙两家分公司，其中40瓶给甲公司，60瓶给乙公司，且都能卖完，两公司的利润（元）如下表（1）假设总公司分配给甲公司x瓶香水，求：甲、乙两家公司的总利润W与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，甲公司的利润会不会比乙公司的利润高？并说明理由；（3）若总公司要求总利润不低于17370元，请问有多少种不同的分配方案，并将